Bonjour AlgA,

Ton cas numéro 1 n'est qu'un cas particulier du cas numéro 2.
Sauf erreur, la probabilité P(j) d'avoir j recapturés est :

P(j) = C j,k * C p-j,n-k / C p,n

En effet, tu as en tout C p,n manières de tirer p individus parmi n possibles.
Et tu as C j,k manières de choisir les j retirés parmi k possibles,
à croiser avec les C p-j,n-k manières de choisir les (p-j) autres parmi les (n-k) non identifiés.

Tu peux vérifier que pour j=p (cas n°1), la formule donne bien :
P(p) = C p,k * C p-p,n-k / C p,n = C p,k / C p,n

Tu peux aussi vérifier que la somme des probabilités de tous les cas vaut bien 1 (pour chaque cas : J varie donc de 0 à p).
Pour celà il faut que la somme des P(j)j=0,p valle 1.

Calcul de la somme des P(j) :
S = Somme j=0,p [ C j,k * C p-j,n-k / C p,n ]
Or : Somme j=0,p [ C j,k * C p-j,n-k ] = C p-j+j,n-k+k = C p,n
(identité de Vandermonde)

Donc la somme cherchée vaut bien 1, ce qui semble confirmer la validité de la formule.

NB: pour que tout ça ait un sens, il faut naturellement que le processus de recapture soit totalement aléatoire et équiprobable. Peut-être y a-t-il des animaux qui se laissent plus difficilement attraper deux fois... et réciproquement, peut-être que certains animaux se laissent plus facilement prendre que d'autres...

Bonjour Le Dino,

Merci beaucoup pour ta réponse que je vais analyser et digérer.

Pour ta remarque sur les équiprobabilités de recapture elle est totalement justifiée. Il est certainement inexact que des animaux (ici des dauphins de Risso en Méditerranée) ont des probabilités égales d'être rephotographiés.
Je crois que l'on peut accéder à ces réalités d'hétérogénéité par des "approches bayesiennes". Pour le moment (je ne suis pas un spécialiste de la capture-recapture), je suis juste à la recherche d'un "modèle simplifié" permettant de recadrer les choses en première approche. C'est pour donner une idée à une stagiaire étudiante de master 1, qui en sait moins que moi, et qui est en train d'analyser nos recaptures.

Je tiendrai bien sûr compte de tes réserves.

AlGa

PS: pour la petite histoire, mes trois enfants qui ont fait des prépas il y a peu ne m'ont pas aidé à résoudre le pb. C'est dommage, le dénombrement c'est marrant, mais il y a des gamins qui le craignent.

C'est pas parce que j'ai fait prépa que je me suis lancé dans le calcul...
C'est parce que je joue au poker ...
En pédagogie, la récompense est le meilleur stimulant de l'apprentissage .

Une remarque :
Si le nombre déjà capturé (k) est petit par rapport à la taille de la population (N), de même que le nombre de photos prises (p), alors il y a une manière plus simple d'approcher le calcul, en considérant qu'il s'agit d'une loi binomiale à p tirages de probabilité q=k/N.

En gros, la question est de savoir la probabilité de rephotographier j dauphins lorsque tu en tires p dans une population de N, avec à chaque fois environ q=k/N chances de tomber sur un dauphin déjà photographié.

Et dans ce cas :  P(j) = C p,j * q^j * (1-q)^(p-j)
Avec q=k/N

Par exemple, pour N=1000, k=100, p=30, cette formule est une très bonne approximation de la précédente.

La formule est peut-être plus simple à comprendre et à appliquer.
Elle peut également présenter un autre avantage, en permettant éventuellement d'introduire un paramètre qui matérialiserait la propension d'un dauphin à se faire rephotographier.

Par exemple en posant une probabilité "corrigée" :
q' = alpha.q = alpha.(k/N)

En remplaçant q par q' dans la formule, et à supposer qu'un historique de données permette d'évaluer les proportions de recaptures... il serait possible de quantifier le coefficient alpha.

Un sujet déjà pris aurait ainsi alpha plus de chances de se faire prendre à nouveau qu'un sujet pris au hasard... L'observation de plusieurs cycles permettrait de valider que cet alpha est constant...

C'est juste un exemple de piste, après il faut bosser la question plus sérieusement...

Bon courage ...

Merci beaucoup Le Dino,

Oui la binomiale, c'est aussi ce qu'il y avait dans mon memento de poche.
Alors du coup, avec deux modèles, c'est deux matinées de calme pour bien assimiler les solutions. Le bonheur ...
Je reviendrai sur le "post" si j'ai des choses intéressantes à ajouter.

AlgA

Le fait d'avoir deux modèles proches offre les avantages suivants :

1. Cela permet de vérifier qu'il n'y a pas d'erreur dans la programmation de la formule (par exemple sur tableur, en comparant les deux colonnes...).

2. Cela permet de se rassurer sur la validité de la première formule (donnée par un dénombrement toujours un peu périlleux...) en la recoupant par une formule approchée, que le bon sens permet mieux de comprendre.

NB : toujours vérifier que la somme des cas a une probabilité égale à 1 (dans les limites du possible, parce que si p=200,000 ça fait un peu beaucoup, même sur un tableur... mais je doute qu'autant de dauphins se fassent tirer le portrait ).

Bon courage.