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Dénombrement sur des particules

Posté par
LeoZ 30-08-11 à 20:12

Bonjour,

J'ai commencé à travailler un peu sur mon TIPE pour l'an prochain, mais je rencontre un problème de dénombrement. Faut dire que je n'en ai pas fait depuis la terminale et j'ai un peu oublié les formules, même si en raisonnant j'arrive à les retrouver. Cependant ce problème est je trouve un peu compliqué.

On dispose d'un système contenant N particules indiscernables, et on sait que la proportion de particules se trouvant dans l'état i est p_i. Quel est le nombre de possibilités de répartir les N particules dans les n états en respectant les proportions ?
On est censé trouver {N!} / ({(p_1 N)!(p_2 N)...(p_n N)})

On peut déjà poser pour plus de clarté k_i le nombre de particules dans l'état i, de sorte que k_i = N p_i
Ensuite, j'avais réussi à faire apparaître les factorielle des k_i mais je n'arrivais pas à les mettre au dénominateur.

Je ne sais pas s'il faut raisonner sur les états ou sur les particules. Je pense que c'est sur les particules, j'ai fait des arbres et je vois vaguement le résultat au loin, mais ça devient très vite pas manipulable, avec des min sur i des k_i etc.

Est-ce que vous savez comment faire ?
Merci d'avance
Léo

Posté par
Hiphigeniere : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 20:41

Bonjour LeoZ,

Il s'agit du nombre de permutations avec répétitions de N éléments dont k_1 sont dans l'état 1, k_2 sont dans l'état 2, ... , k_n sont dans l'état n.
Les nombre de ces permutations est donné par la formule \Large \frac{N}{k_1!\ \times\ k_2!\ \times\ ... \times\ k_n!}


On pourrait également résoudre le problème avec des combinaisons, si tu ne comprends pas.

Posté par
athrunre : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 20:58

Bonsoir LeoZ et Hiphigénie

Citation :
On pourrait également résoudre le problème avec des combinaisons, si tu ne comprends pas.


Est-ce bien de cela qu'il s'agit ?

(en remarquant notamment que k_1+...+k_n=N), le nombre de parties composées de n sous-parties contenant k_i éléments  est donné par :  \Large n\choose k_1,...,k_n ?

Posté par
Hiphigeniere : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 21:21

Bonjour athrun

C'est effectivement de \Large n\choose k_1,...,k_n dont je parlais, mais on pourrait également trouver le même résultat par les combinaisons simples.

Posté par
LeoZre : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 22:17

Bonjour, merci pour vos réponses mais je ne sais pas ce que sont ces combinaisons  \Large n\choose k_1,...,k_n ... Je ne connais que les combinaisons du type k parmi n.

Iphigénie (en Tauride ?), c'est bien cette formule qui est trouvée comme solution, et il s'agit peut-être d'une formule connue, mais ce que je cherche, c'est sa démonstration en fait...

Merci quand même pour vos réponses
Est-ce que vous savez comment démontrer cette formule ?

Posté par
Hiphigeniere : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 22:43

Citation :
Iphigénie (en Tauride ?),
Ben non, je ne sais pas chanter...

OK pour les combinaisons simples.

Parmi les N particules, prenons-en k_1 qui seraient dans l'état 1.
Le nombre de groupements possibles est le nombre de combinaisons de k_1 éléments parmi N.

Ce nombre est égal à \Large C_N^{k_1}.

Parmi les N-k_1 particules qui restent, prenons-en k_2 qui seraient dans l'état 2.
Le nombre de groupements possibles est le nombre de combinaisons de k_2 éléments parmi N-k_1.

Ce nombre est égal à \Large C_{N-k_1}^{k_2}.

Et ainsi de suite : \Large C_{N-k_1-k_2}^{k_3}, C_{N-k_1-k_2-k_3}^{k_4}, ..., C_{N-k_1-k_2-k_3-...-k_{n-1}}^{k_n}

Ainsi, le nombre de possibilités sera égal à \Large C_N^{k_1}\ \times\ C_{N-k_1}^{k_2}\ \times\ C_{N-k_1-k_2}^{k_3}\ \times\  C_{N-k_1-k_2-k_3}^{k_4}\ \times\ ... \ \times\ C_{N-k_1-k_2-k_3-...-k_{n-1}}^{k_n}

Tu appliques la formule des combinaisons  \Large C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} et tu obtiendras le résultat proposé.

Posté par
LeoZre : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 22:48

Ah oui merci beaucoup, c'est simple en fait, je suis bête de ne pas y avoir pensé. J'étais parti dans un truc beaucoup plus compliqué, je n'ai pas pris le bon bout de la raison comme dirait Rouletabille
Je raisonnais sur les particules alors qu'il fallait le faire sur les états.
Merci encore
Léo

Posté par
Hiphigeniere : Dénombrement sur des particules 30-08-11 à 22:54

Ah la la !

Bonne fin de soirée.


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