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Densité de Z[racine de 2] dans R

Posté par stam69 (invité) 04-11-06 à 10:51

Bonjour, je voudrais de l'aide concernant cet exercice, merci

Le but de cette exercice est de montrer que [2] est dense dans
Soit D=[2]={a+b2 : a,b}
1) Montrer que D est stable par addition et multiplication
2) Soit u=2 -1    Montrer que pour tous a,b, avec a<b, on peut trouver n* tel que 0<u^n<b-a
3) Montrer que pour tous a<b on peut trouver m vérifiant a<m*u^n<b   En déduire que D est dense dans
Indication: On pose m=1+E(a/u^n)

Encore merci !

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 10:57

Bonjour stam69

Où bloques-tu exactement ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:07

Enfaite je suis arriver à la fac il y a peu de temps et je n'ai pas vu ce qui signifit " D est stable par addition et..."

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:10

OK !
"D est Stable par addition" signifie que pour tous éléments x et y de D, x+y est encore dans D.
"D est Stable par multiplication" signifie que pour tous éléments x et y de D, xy est encore dans D.



Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:14

merci bien

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:17

Pour la suite, ça ira ou tu veux un peu d'aide ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:19

Oui je veux bien aussi un peu d'aide

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:21

Pour la 2), une petite idée ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:23

non je ne vois pas, je ne comprend pas très bien  D=......:{...}

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:27

C'est-à-dire ?
La notation \Large{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]} ou bien ce qui est entre accolades ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:28

avec Z, et surtout avec les accolades

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:32

D c'est l'ensemble des éléments qui s'écrivent \Large{a+b\sqrt{2}} avec a et b qui sont des entiers relatifs.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:33

Autre chose : on va oublier la notation \Large{\mathbb{Z}[\sqrt{2}]} : ce n'est pas important pour comprendre le reste.

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:36

d'accord, j'essaie de trouver pour la 2 alors mais pour le moment rien

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:39

Que peux-tu me dire de \Large{\sqrt{2}-1} ?
Plus précisément, que vaut à peu près ce nombre ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:41

cela vaut 0.4142....

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:44

En particulier, c'est compris strictement entre 0 et 1.
Que peux-tu donc me dire sur la suite de terme général \Large{(\sqrt{2}-1)^{n}} ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:45

donc la suite est comprise entre 0 et 1

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:47

Certes, mais encore (converge-t-elle et si oui, donne moi sa limite).

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:48

elle converge alors vers 1

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:52

Pas du tout !
C'est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre 0 et 1.

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 11:54

ah ça fai 0 alors il me semble

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 12:08

c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 12:17

Sinon, pour la suite de la question, comment tu continuerais ?

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 13:13

par rapport a "b-a" je ne vois pas

Posté par
kaiser Moderateurre : Densité de Z[racine de 2] dans R 04-11-06 à 13:34

Deux solutions s'offrent à toi :
Soit tu utilises la définition de la limite.
Soit tu résouds l'inéquation \Large{0< \Large{(\sqrt{2}-1)^{n}}< b-a}

Kaiser

Posté par stam69 (invité)re : Densité de Z[racine de 2] dans R 06-11-06 à 17:27

je dois utiliser quelle définition de la limite?
merci

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 07-11-22 à 19:57


Bonjour à tous , j'ai un probleme similaire à celui et j'ai besoin d'aide peut importe le chemin que je prend y'a une fail
Exemple, j'ai defini une suite d'element de D :

(Wn): Wn=u^n+x et sa limite donne x pour conclure il faut que le x soit dans R , mais il est dans Z

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 07-11-22 à 19:58

kaiser @ 04-11-2006 à 13:34

Deux solutions s'offrent à toi :
Soit tu utilises la définition de la limite.
Soit tu résouds l'inéquation \Large{0< \Large{(\sqrt{2}-1)^{n}}< b-a}

Kaiser
9

Help

Posté par
carpediemre : Densité de Z[racine de 2] dans R 07-11-22 à 20:26

Crei @ 07-11-2022 à 19:57


(Wn): Wn=u^n+x et sa limite donne x pour conclure il faut que le x soit dans R , mais il est dans Z
et Z n'est-il pas inclus dans R ?

kaiser @ 04-11-2006 à 13:34

Soit tu résouds l'inéquation \Large{(\sqrt{2}-1)^{n}}< b-a}
il suffit de prendre le logarithme ...

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 07-11-22 à 23:46

ZcR mais la def dit "Pour tout" x de R , il existe une suite d'element de qui converge vers x

Je ne vois l'idee derriere le logarithme

Posté par
carpediemre : Densité de Z[racine de 2] dans R 08-11-22 à 17:56

l'inconnue est n ...

Posté par
verdurinre : Densité de Z[racine de 2] dans R 08-11-22 à 19:35

Bonsoir,
on peut exhiber une suite (x_n)_{n\in\N} d'éléments de D telle que \lim_{n\to \infty}x_n=x quel que soit x\in\R.

Pour ça on fait comme pour écrire les nombres décimaux :
on part de x_0=\lfloor x\rfloor partie entière de x.

Ensuite on prend c_1=\left\lfloor \frac{x-x_0}{-1+\sqrt2}\right\rfloor et x_1=x_0+c_1(-1+\sqrt2)

Puis on recommence en prenant c_2=\left\lfloor \frac{x-x_1}{(-1+\sqrt2)^2}\right\rfloor et x_2=x_1+c_2(-1+\sqrt2)^2

Et on continue, c'est en gros la même idée que l'écriture décimale des nombres.

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 21:06

carpediem @ 08-11-2022 à 17:56

l'inconnue est n ...

Bonsoir
n\ln \left(-1+\sqrt{2}\right) \prec \left(b-a \right)\Leftrightarrow \\n\prec\frac{\ln (b-a)}{ln(-1+\sqrt{2})}

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 21:07

Je ne vois pas trop que faire de cette solution

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 21:29

verdurin @ 08-11-2022 à 19:35

Bonsoir,
on peut exhiber une suite (x_n)_{n\in\N} d'éléments de D telle que \lim_{n\to \infty}x_n=x quel que soit x\in\R.

Pour ça on fait comme pour écrire les nombres décimaux :
on part de x_0=\lfloor x\rfloor partie entière de x.

Ensuite on prend c_1=\left\lfloor \frac{x-x_0}{-1+\sqrt2}\right\rfloor et x_1=x_0+c_1(-1+\sqrt2)

Puis on recommence en prenant c_2=\left\lfloor \frac{x-x_1}{(-1+\sqrt2)^2}\right\rfloor et x_2=x_1+c_2(-1+\sqrt2)^2

Et on continue, c'est en gros la même idée que l'écriture décimale des nombres.


Bonsoir Verdurin
J'ai tenter une ecriture de la suite afin de calculer la lim
(x_n)_{n\in\N}  
(x_n)_n:\begin{cases} \\ &x_0=\lfloor x\rfloor\\ \\ &c_n=\left\lfloor \frac{x-x_{n-1}}{(-1+\sqrt2)^n}\right\rfloor  \\ \\ &x_n=x_{n-1}+c_n(-1+\sqrt2)^n \\ \end{cases}

Qu'en pensez vous?

Je sais que \lim_{}(-1+\sqrt(2))^n=0
Mais je ne sais pas comment faire pour trouver le x.
limcn aussi je connais pas
Besoin de votre aide

Posté par
carpediemre : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 21:42

Crei @ 10-11-2022 à 21:06

n\ln \left(-1+\sqrt{2}\right) \le \left(b-a \right) \iff n\le \dfrac{\ln (b-a)}{ln(-1+\sqrt{2})}
faux !!

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 22:07

J'ai oublier un ln , ou y'aurait un autre probleme
Le resultat n'est pas vrai n ....?
n\ln \left(-1+\sqrt{2}\right) \le \left\ln(b-a \right) \iff n\le \dfrac{\ln (b-a)}{ln(-1+\sqrt{2})}.

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 10-11-22 à 23:16


n\ln \left(-1+\sqrt{2}\right) \le \left\ln(b-a \right) \iff n\geq \dfrac{\ln (b-a)}{ln(-1+\sqrt{2})}

Oui j'ai vu
ln de -1+sqrt(2) est negatif

Posté par
carpediemre : Densité de Z[racine de 2] dans R 11-11-22 à 10:33

donc on a répondu à la question 2/ ...

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 11-11-22 à 19:19

carpediem @ 11-11-2022 à 10:33

donc on a répondu à la question 2/ ...

Oui j'ai pu le faire aussi avec la definition

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 11-11-22 à 23:39

carpediem @ 11-11-2022 à 10:33

donc on a répondu à la question 2/ ...

J'ai utiliser la convergence de la suite , merci pour ta methode aussi.
J'ai par contre besoin d'aide pour deduir la densité

Avec la limite j'ai
n,nn0|Un|e où e=b-a0
a-bunb-a
Posons X=a-b et Y=b-a
X,Y,
XunY
donc D est dense dans R .
Qu'en pensez vous

Posté par
Creire : Densité de Z[racine de 2] dans R 13-11-22 à 19:08

carpediem @ 11-11-2022 à 10:33

donc on a répondu à la question 2/ ...
C'est la troisieme question je souhaite faire mais blocquer

Posté par
carpediemre : Densité de Z[racine de 2] dans R 13-11-22 à 19:31

avec 2/ on a trouvé plein (une infinité) d'entiers tels que 0 < u^n < b - a donc que a < a + u^n < b

il suffit d'utiliser l'indication ...


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