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Déplacement d'un escargot - Problème ouvert
"Un escargot se déplace dans un potager rectangulaire de dimensions 3m x 4m.
Un repère orthonormé (O;
;
) est tracé sur le sol tel que :
- O est le centre du potager
- a pour direction la longueur du potager
- le plan est orienté
L'escargot part de O et avance à la vitesse de 6 cm.min-1 en suivant l'axe des abscisses dans le sens positif pendant une minute, puis tourne d'un angle de 
/45.
Il poursuit son chemin pendant 1 minute, tourne encore et ainsi de suite.
Arrivera-t-il sur une des clôtures en moins de 2 heures ?"
J'ai longuement réfléchi sur ce problème, j'ai tracé les déplacements de l'escargot sur une feuille et j'ai l'impression qu'il ne touchera jamais les clôtures.. Le truc c'est qu'il faut résoudre ce problème par le calcul et je n'ai aucune idée de la démarche à suivre.. Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance !!
C'est très étonnant, c'est forcement une erreur. il tourne très probablement de 45° ou bien /4 radians. Tu es vraiment vraiment sûr ?
Remarque, je dis ça, mais pourquoi pas après tout.
tu as appris les nombres complexes ou pas encore ?
Il me semble que /45 radian sont égal à 6 degrés.
Je n'ai pas encore appris les nombres complexes, en ce moment on travaille sur la trigonométrie..
Bon dommage car il était facile d'exprimer zn+1 en fonction de zn dans un plan complexe et en déduire la position de zn en fonction de n en s'aidant des suites géométriques.
Essaye de monter qu'il parcourt un polygone régulier (ou un morceau de polygone régulier) et de trouver les caractéristiques de ce polygone (le rayon du cercle circonscrit au polygone par exemple, ça serait utile). Après tu verras bien s'il tient dans l'enclos ou pas.
Merci, mais en dessinant sur une feuille le trajet de l'escargot je me rends compte qu'il ne parcourt pas un polygone régulier... On dirait plutôt une espèce de rosace :S
Chaque petit parcours (cotés du polygone) fait 6 cm et il tourne toujours d'un même angle, donc ça a des chances de faire un polygone régulier. tu as le choix entre le polygone et la spirale, remarque.
(révise la trigo dans un polygone : 
, ça va t'aider à trouver le nombre de cotés et le rayon )
Bonjour japege,
normalement tu peux trouver un algorithme qui te dit dans le cas général quand l'escargot atteindra le bord du potager,
mais sinon j'ai essayé de le faire tout simplement par le calcul (pas terminé cependant):
1ère minute: 6cm+ pi/45
2ème minute: (6cm+ pi/45)+(6cm+ pi/45)
...
n minute (n variable de R): (6cm+ pi/45)n
Or, on cherche à savoir si l'escargot atteint le bord du potager au bout de 2h.
Donc 120ème minute: (6cm+ pi/45) x120
=720 + 120pi/45
=720 + 30pi/45 [2pi]
...
Il faut ensuite arriver à exploiter les dimensions du potager, ... enfin peut-être.
La fin reste un mystère.
Bonjour,
je n'ai pas trop calculé au bout de combien de temps, mais à mon avis il sort du potager ... Geogebra est d'accord avec moi.
comme déja dit, il parcourt un polygone régulier à 2/(/45) = 90 cotés.
ce qui fait que le rayon de ce polygone (du cercle circonscrit à ce polygone, pour ce que ça change avec 90 côtés) est 3/sin(/90)
le diamètre est alors > 1.50 m (demi largeur du potager puisqu'on part de O au centre)
reste plus qu'à calculer quand, c'est à dire l'angle d'interception de ce "presque cercle" avec le côté...
(on peut aussi compter les petits points avec Geogebra : c'est réellement un polygone régulier à 90 côtés de longueur 6cm, qui a été tracé. Dans un potager de longueur 4 m = 400 cm et de largeur 300 cm !)
S'il y a 90 côtés et que l'escargot fait un côté par minute, il aura fait le tour complet en une heure et demie, donc sera sorti bien avant les 2h
J'avais exactement le même problème dans mon DM de maths , merci beaucoup , vous m'avez aidé , Mais il n'y a pas beaucoup de maths là dedans, surtout du blabla ^^ , Merci beaucoup en tout cas 
Mais , pourriez vous détaillez un peu plus votre raisonnement, car je n'ai pas compris comment on peux aboutir a cela.
Merci
Que l'escargot parcourre une "ligne polygonale" régulière (inscrite dans un cercle) est clair :
l'angle de rotation étant constant et la distance parcourue étant toujours la même.
La figure avec un polygone régulier quelconque (par exemple ici à 7 côtés, mais ça n'a aucune espèce d'importance) montre les relations angulaires et la relation entre le rayon du cercle circonscrit à ce polygone, les angles et le côté (trigo ...) en fonction du nombre de côtés n.
ici on a un angle 2pi/n = pi/45 cela permet
1) de trouver n
2) de conclure que puisque n est un entier, ce polygone est fermé (sinon on aurait une ligne polygonale qui ne repasserait pas à son point de départ au bout d'un tour) mais bof ... ça n'a en fait pas d'importance.
3) de calculer le rayon de son cercle circonscrit
Ensuite comme le diamètre de ce cercle là est largement supérieur à la demi largeur du champ, forcément "ça sort".
le temps pour faire un tour complet étant n fois le temps pour parcourir un côté, et ce temps étant < 2h30, le temps mis pour parcourir le seul arc avant de sortir est encore inférieur.
Calculer le temps exact au bout duquel l'escargot sort n'était pas demandé
on peut estimer (en comptant les points sur la figure de Geogebra) que l'escargot est sorti au bout de 35*1mn et quelques (moins de 36 minutes)
le démonter "mathématiquement" consiste à déterminer le point d'intersection du cercle et du bord du chanp (trigo encore) et d'en déduire (par l'angle) le nombre de cotés parcourus.
nota : l'angle de rotation /45 radians = 180°/45 = 4° contrairement au calcul faux de "Il me semble que /45 radian sont égal à 6 degrés."
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