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Déplacement et Antidéplacement

Posté par
Guufulltun 27-11-12 à 21:56

On considère un triangle ABCD tel que AB = 2BC et (\vec{AB},\vec{AD}) /2 [2].
On Désigne par I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD].
1.a. Montrer qu'il existe un unique déplacement f du plan tel que f(A) = C et f(I) = J (\vec{AI}\vec{0} et AI = CJ donc il existe un unique déplacement f).
b. Caractèriser f puis en deduire que f(B)=D ((\vec{AI},\vec{CJ}) (\vec{AI},\vec{BI}) [2] - [2] donc f=R(,-) et {} = med[AC]med[IJ] = {O} (centre du rectangle) d'ou f=R(O,- = So. O=B*D donc f(B)=D)
2. Déterminer la droite telle que f=S(IJ) o S ( = R(o,/2). Soit L et K les milieux respectives de [AD] et [BC] donc =LK)
3. Soit r la rotation de centre I et d'angle /2
a. Déterminer r(B),r(C) et r(J) (r(B)=J, r(C)=D,r(J)=A)
b. Soit Mun point de [CJ], la perpendiculaire à (IM) issue de I coupe la perpendiculaire à (BM)issue de J en M'. Quel est l'ensemble des points M' lorsque M décrit [CJ]? (ici le problème)
4. On pose g = r o f
a. Montrer que g est une rotation dont on précisera l'angle. (r(I,/2) et f(O,). or /2 - = -/2 2k donc g est une rotation d'angle -/2)
b. Déterminer g(A) (f(A)=C et r(C)=D d'ou g(A)=D)
c. Déduire la construction du centre g. (Comment peut-on déduire cette construction?)
5.a. Montrer qu'il existe un unique antidéplacement h tel que h(A)=C et h(I)=J ((\vec{AI}\vec{0} et AI = CJ donc il existe un unique antidéplacement g).
b. Montrer que h est une symétrie glissante. (med[AC]med[IJ] donc h est une symetrie glissante).
c. Montrer que h(B)=D (La symetrie glissante conserve le milieu or I=A*B d'ou J=C*h(B) alors h(B)=D).
6. On propose de déterminer les éléments caractèristiques de h en utilisant deux méthodes.
Premiere méthode:
a. Determiner h o S(AB)(A) et h o S(AB)(B). En déduire hoS(AB). (k=h oS(AB) k(A)=C et k(B)=D Qu'est ce qu'on peut déduire?).
b. Déterminer les éléments caractèristiques de h (Qu'elles sont et comment peut-on les déterminer?).
Deuxième méthode:
a. on pose D'=h(D). Montrer que (\vec{CD},\vec{CD'}) -/2 [2]. et CD'=AD. En déduire que D' est le symetrique de B par rapport à C. (J'ai un problème ici).
b. En déduire les élément caractèristique de h. (et ici).
c. Construire le point C'=h(C)
7.Le cercle de diamètre [AB] recoupe [AC] en E. Le cercle de diamètre [CD] recoupe [CC'] en E'. Soit F le symétrique de E' par rapport à (IJ). Montrer que (EF) est paralléle à (AD). (je pense qu'il faut réponde aux questions précedentes pour resodre ce problème.)

Posté par
flightre : Déplacement et Antidéplacement 27-11-12 à 22:24

c'est beaucoup demandé sans la moindre politesse !

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 27-11-12 à 22:39

désolé j'ai oublié de dire bonsoir. l'exercice est trop long et l'écran était totalement rempli donc j'ai pas révisé ce que j'ai écrit. désolé mille fois.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 01:22

Bonsoir,

L' énoncé commence bien:

Citation :
On considère un triangle ABCD


Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 07:08

Oo! c'est pas un triangle. c'est un rectangle. Désolé.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 17:36

3)a) L' image de la droite (BM) par r est la perpendiculaire à [tex(BM)[/tex] passant par r(B)=J

C' est la droite (JM')

L' image de la droite (IM) est la perpendiculaire à (IM) passant par r(I)=I

C' est la droite (IM')

Donc M'=r(M) et lorsque M décrit [CJ], le point M' décrit l' image de ce segment part r soit le segment [r(C)r(J)]=[DA]

C' est un début...

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 17:38

Oublié de prévisualiser

3)a) L' image de la droite (BM) par r est la perpendiculaire à (BM) passant par r(B)=J

C' est la droite (JM')

L' image de la droite (IM) par r est la perpendiculaire à (IM) passant par r(I)=I

C' est la droite (IM')

Donc M'=r(M) et lorsque M décrit [CJ], le point M' décrit l' image de ce segment part r soit le segment [r(C)r(J)]=[DA]

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 17:59

Bon soir,
Merci beaucoup
Apres la correction d'une question, je vois que la solution est trés facile mais j'était incapable de la trouver.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 18:15

4)c) g(A)=D et (\vec{GA};\vec{GD})=-\dfrac{\pi}{2}

Le centre G de la rotation g d' angle -\dfrac{\pi}{2} est donc sur le demi cercle (intérieur au rectangle ABCD) de diamètre [AD]

et il est aussi sur la médiatrice de [AD] ....

6)a) k=h\circ S_{AB} est un déplacement en tant que composée de 2 anti déplacements.

C' est donc une rotation où une translation.

k(A)=C et k(B)=D

or \vec{AC}\not=\vec{BD}

k n' est donc pas une translation.

k est une rotation.

Son centre est l' intersection des médiatrices de [AC] et [BD] soit O centre du rectangle ABCD

Son angle vaut alors \pi

Autrement dit k=h\circ S_{AB}=f

C' est la symétrie centrale du 1)

6)b) On a donc h\circ S_{AB}=f

On en déduit: h=f\circ S_{AB}

puis h=(S_{IJ}\circ S_{LK})\circ S_{AB}=S_{IJ}\circ \underbrace{(S_{LK}\circ S_{AB})}_{t_{\vec{AD}}}

h=S_{IJ}\circ t_{\vec{AD}} où t_{\vec{AD}} est la translation de vecteur \vec{AD}

On retombe bien sur la symétrie glissante du 5) ...





Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 18:17

Une figure:

Déplacement et Antidéplacement

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:04

oh là là!
Merci beaucoup pour vos efforts.
Je vous en suis reconnaissant,
Tout est compris maintenant.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:08

6) Méthode 2

a) h(A)=C

h(B)=D

h(D)=D'

Donc:

(\vec{CD};\vec{CD'}=(\vec{h(A)h(B)};\vec{h(A)h(D')}=-(\vec{AB};\vec{AD'}=-\dfrac{\pi}{2}\;\;[2\pi] puisque h est un anti déplacement qui change le sens des angles orientés.

et CD'=AD puisque h est une isométrie.

donc CD'=CB

On en déduit immédiatement que D' est le symétrique de B par rapport à C

b) On a h=S\circ t_{\vec{u}} où S et t_{\vec{u}} sont respectivement une symétrie et une translation de vecteur \vec{u} colinéaire à l' axe de la symétrie.

Pour tout point M du plan:

(h\circ h)(M)= (t_{\vec{u}}\circ t_{\vec{u}})(M)=t_{2\,\vec{u}}(M) (un petit dessin permet de s' en rendre compte mais on peut le prouver en tenant compte du fait que S et t_{\vec{u}} commutent).

donc (h\circ h)(B)=h(D)=D'=t_{2\,\vec{u}}(B) et 2\vec{u}=\vec{BD'}=2\,\vec{AD}

On en déduit \vec{u}=\vec{AD}

Puis avec h(A)=C:

(S\circ t_{\vec{AD}})(A)=C

S(D)=C

et l' axe de S est la médiatrice de [CD] soit (IJ)

On retrouve bien le résultat:

h=S_{IJ}\circ t_{\vec{AD}}


Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:10

De rien Guulfulltun

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:10

Il est joli ton exercice....

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:22

le prof nous a demandé de le faire et le lui donner en "double-feuille". j'avait déja le lui fourni. Mais il est nécessaire de savoir comment travailler un tel exercice et vous m'avez aidé. je vous en suis reconnaissant encore .

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:32

Ah, dommage que tu l' aies déjà rendu...

Mais bon, j' espère que tu as appris quelques bricoles...

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 28-11-12 à 19:52

Oui bien sûr.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 29-11-12 à 15:09

Guufultun, j' ai l' impression, je me trompe peut-être, que ton exercice ne s' arrête pas à cette question 7).

S' il y a une suite, et si tu repasses par ici, pourrais-tu la poster ?

Merci d' avance...

Posté par
Guufulltunre : Déplacement et Antidéplacement 29-11-12 à 18:18

Non monsieur. cet exercice se termine à cette question.
De rien, je suis à votre service.

Posté par
cailloux Correcteurre : Déplacement et Antidéplacement 30-11-12 à 11:10

Bon ben j' ai mal "senti"


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