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Dérivation
Bonsoir, je dois faire ce devoir maison, en mathématique mais je suis complétement coincée et j'aimerais avoir de l'aide pour chacune des questions.
Le bon raccordement d'un toboggan.
Un toboggan en résine doit être construit au bord d'un plan d'eau. Par mesure de sécurité, aucun creux et aucune bosse ne doivent perturber la glissade des enfants qui l'utilisent. La figure représente une vue en coupe de ce toboggan. La hauteur est de 5 m, la longueur de 7m. La courbe représentant le toboggan admet une tangente horizontale au sommet ainsi qu'à l'arrivée sur le sol. On modélise le toboggan avec des arcs de parabole, dont les fonctions seront notées respectivement f et g, et un segment [AB] qui raccorde les deux arcs et qui doit leur être tangent aux points A et B.
1) D'après l'énoncé, et la figure, expliquer pourquoi f'(0)=0 et g'(7)=0
2) A (2;4) et B (5;1). Donner l'équation de la droite (AB)
3) Expliquer pourquoi f'(2)=g'(5)=-1
4) On pose f(x)= ax²+bx+c
a) Exprimer f'(x) en fonction de a et b
b) En utilisant les données, déterminer a, b et c
5) On admet que g(x)= 0,25x²+3,5x-12,25
a) Vérifier que B appartient bien à la courbe de représentative de g.
b) Prouver que la courbe représentative de g admet une tangente horizontale au point d'abscisse 7
c) Démontrer que (AB) est bien tangente à la courbe représentative de g au point B.
la FAQ du forum
*modération* >citation inutile supprimée*
Pour f'(0) je ne sais pas, mais g'(7) je sais qu'une tangente horizontale a un coefficient directeur qui est égal à zéro et en plus c'est précisé dans la consigne.
oui, c'est la bonne piste.
".......admet une tangente horizontale au sommet ainsi qu'à l'arrivée sur le sol"
au sommet, on a le point de coordonnées (0, 5).
la courbe à cet endroit représente f(x).
Sa tangente horizontale a pour coefficient directeur 0, et si tu connais le lien entre dérivée et tangente, ça te permet de conclure que f'(0)=0
de même, à l'arrivée, on a le point de coordonnées .......
la courbe à cet endroit représente ........
sa tangente... etc...
OK ?
Le lien entre la dérivée et la tangente ? C'est le fait que la dérivée permette de donner le coefficient directeur de la tangente, ou un truc du genre non ? Et donc c'est la même chose que pour g'(7) ?
oui, c'est ça !
le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est f'(a)
donc ici, le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est f'(0)
donc f'(0)=0 OK ?
idem pour l'arrivée avec g'(7)..
Merci beaucoup !
Mais, maintenant j'aurais besoin d'aide pour les autres questions, certaines me paraissent d'ailleurs complètement incompréhensibles...
Bonsoir,
5) On admet que g(x)= 0,25x²+3,5x-12,25
C'est plutôt : g(x) = 0,25x² - 3,5x +12,25
Bonsoir,
5) On admet que g(x)= 0,25x²+3,5x-12,25
C'est plutôt : g(x) = 0,25x² - 3,5x +12,25
Oui, en effet ! C'est une faute de frappe de ma part.
q2) l'équation de (AB)
cette équation est sous la forme y=ax+b
tu sais calculer le coefficient directeur de cette droite dont tu connais deux points, n'est ce pas ?
merci co11, j'avais vu. J'attendais d'etre à cette question pour corriger l'énoncé.
(Pour l'instant, on en est à la question 2)
Oui, pour celle-ci je sais, il faut faire une opération sous cette forme-là : (y B − y A) ÷ (x B − x A)
Donc: (1-2)÷(5-4)=-1
c'est bien.
donc l'équation de (AB) s'écrit y = -x +b
il reste à trouver b
utilise un des points de la droite pour ça. vas y !
C'est sûrement une question bête mais comme il y a le "-x" je le remplaçant directement par un autre nombre en gardant le signe -, je ne dois pas multiplier ce nombre par moins "-1" ?
??
y = ax + b
tu as fait un calcul et tu as trouvé que a= -1
avec A(2 ; 4)
yA = - xA + b
4 = -2 + b donc b= ?
pourtant tu as tous les indices :
"les fonctions seront notées respectivement f et g, et un segment [AB] qui raccorde les deux arcs et qui doit leur être tangent aux points A et B."
donc (AB) est tangente à la courbe de f(x) en A d'abscisse 2
rappelle toi le lien entre dérivée et coefficient dir de la tangente..
et (AB) est tangente à la courbe de g(x) en B d'abscisse 5 ...
-1 est le coefficient directeur de (AB) ? Et comme la droite est décroissante, le coefficient est négatif ?
ce que tu dis là est peut-être vrai, mais n'a pas de rapport avec la question..
la question est : Expliquer pourquoi f'(2)=g'(5)=-1
f'(2) = -1 quand la tangente au point d'abscisse 2 a pour coefficient directeur = -1
c'est ce qu'on disait en question 1 :
"le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est f'(a)"
dans l'énoncé, on te dit que (AB) est tangente à Cf en A, et tu as calculé le coeff directeur de (AB) = -1
le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 est f'(2) donc f'(2)=-1
OK ?
allez, fais la même chose pour g'(5) (pas tout le pavé, juste le nécessaire)
Je ne suis vraiment pas sûre mais:
Donc si "le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a est f'(a)", le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 5 est g'(5) : g'(5)=-1
'AB) est tangente à Cg en B . C'est écrit dans l'énoncé :
"un segment [AB] qui raccorde les deux arcs et qui doit leur être tangent aux points A et B."
à partir de là : g'(5) = coeff directeur de (AB) donc g'(5)=-1.
q4)
f(x)=ax² + bx +c
exprimer f'(x).
Vas y !
parfait !
b) En utilisant les données, déterminer a, b et c
je te guide sur les données à utiliser :
f'(0) = 0 celle là va te donner b
ensuite
f'(2) = -1 celle là va te donner a
à toi !
f'(x) = 2ax + b
f'(x)= 0 quand x=0 et tu cherches b
remplacer x par -1 ? non, "quand x=0" !
remplacer b par 0 ? non, c'est ce que tu cherches..
mais remplacer f'(x) par 0, ça oui.
f'(x) = 2ax + b ca donne ?
on a f(x)= ax² + bx + c (là il y a 3 inconnues)
et f'(x)= 2ax + b (là, il y a deux inconnues)
on doit trouver a, b, et c
on connait certaines valeurs de f' ; on va utiliser f' (là ou il y a deux inconnues, c'est plus facile que trois, non ?).
j'aime bien quand x=0, parce que des inconnues s'éliminent..
quand x = 0, f' vaut 0 (selon question 1)
je remplace dans f'(x) = 2ax + b tout ce que je connais :
ca donne 0 = 2a * 0 + b
je peux donc en déduire que b=0
quand x=2, f' = -1 (selon question 3)
je remplace dans f'(x) = 2ax + b tout ce que je connais :
-1 = 2a * 2 + 0
-1 = 4a
je peux en déduire a = -1/4
tu vois ?
ça n'est pas très compliqué, il faut juste décortiquer pour aller au plus simple.
maintenant que tu connais a et b, il reste à trouver c
f(x) = ax² + bx + c
tu connais a, tu connais b, et tu sais que f(2)=4 puisque la courbe passe par A
remplace par tout ce que tu connais pour trouver c .
tu devrais essayer quelque chose au moins. Tu dis que tu comprends quand je fais le truc, mais tu ne te lances pas pour terminer.
"pour c, je ne vois pas" : je t'ai tout donné.
f(x) = ax² + bx + c
tu connais a=-1/4, tu connais b=0, et tu sais que f(2)=4 puisque la courbe passe par A donc f(x)=4 quand x=2
remplace ! c'est à ta portée...
tu ne fais pas les choses posément : ou est le c que tu cherches dans ec que tu écris ? et tu as mis a au carré , au lieu de x..
f(x) = a x² + b x + c
avec f(x)= 4
x=2
b=0
a= -1/4
ca donne
4 = -1/4 * 2² + 0*2 + c
4 = -1/4 * 4 + c
ce qui donne c=5
donc f(x) = -1/4 x² + 5
Q5 )
comment fais tu pour vérifier que B appartient à la courbe Cg ?
En effet, je n'ai pas assez réfléchis pour l'autre question, mais j'en prends note pour la prochaine fois !
Pour la question 5, ma professeur m'avait rappelé ça: M(xm; ym) 
Cf si f(xm) = ym. Et à partir de là, je bloque.
en effet, B est sur la courbe si g(xB) = yB
calcule g(xB) et tu verras bien si tu trouves yB
xB = 5
g(x) = 0,25x² - 3,5x +12,25
g(5) = ............ ca fait combien ?
parfait !
b) Prouver que la courbe représentative de g admet une tangente horizontale au point d'abscisse 7
exprime g'(x), calcule g'(7)
si g'(7) =0, la tangente est horizontale..
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