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Dérivation d'une fonction
Bonjours, j'ai un devoir maison où je suis bloqué, voici le problème:
Soit la fonction f définie par : f(x) = (x²-2x+5)/(x-1). On note f' sa dérivée.
PARTIE A:
1) Donner son ensemble de définition Df.
2) Montrer que f'(x) peut s'écrire : (x²-2x-3)/(x-1)².
3) Etudier le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variations de f.
4) f possède-t-elle des extremums locaux? Argumenter.
PARTIE B:
1) a. Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe Cf de cette fonction au
point d'abscisse 50 (on arrondira les coefficients au millième).
b.Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 85 (on
arrondira les coefficients au millième).
c.A votre avis, vers quelle équation réduite, la tangente en Xo va t-elle tendre
lorsque Xo devient très grand? Aucune justification est demandée.
2)Déterminer la position de la courbe Cf par rapport à la droite d'équation y=x-1
Merci d'avance de votre compréhension et de votre patiente
Cordialement Kev1
Voici où j'en suis:
PARTIE A:
1) Df est défini en IR\{1}.
2) U=x²-2x+5 U'=2x-2
V=x-1 V'=1
(U'*V-U*V')/V²
=((2x-2)*(x-1)-(x²-2x+5)*(1))/(x-1)²
=(2x²-2x-2x+2-x²+2x-5)/(x-1)²
=(x²-2x-3)/(x-2)²
3)...
Merci encore au personne qui utiliseront de leur temps pour mon problème.
Bonjour Malou, je l'étudie grâce à un tableau de signe en tant normal quand c'est un trinôme du second degré mais je ne sais pas comment faire quand c'est une fraction. La est mon problème.
Rebonjour, désolé pour le retard voila se que j'ai trouvé:
x -§ 1 2 +§
x²-2x-3 - 0 + I +
(x-2)² - I - 0 +
le tout + II - +
Tes signes sont extrêmement fantaisistes !
tu penses vraiment que (x-2)² peut avoir un signe négatif !!
et puis aussi x²-2x-3 s'annule pour x = -1 et x = 3, (et pas en 1 ou 2)
et pour trouver le signe d'un trinôme comme ça, on sait qu'il est du signe de a (donc positif ici) à l'extérieur de ses racines et du signe contraire entre. tu n'auras jamais du - + + comme tu as mis.
A d'accord alors on ignore le dénominateur car il est positif partout et pour le trinome on utilise delta mais on fait quoi de la valeur interdite?
mais on fait quoi de la valeur interdite?
on la mets dans le tableau avec une double barre sur la ligne (x-2)² ainsi que sur la ligne f(x)
Alors le résultat est :
x -§ -1 3 +§
x²-2x-3 + - +
le tout + - +
On es quand même obligé de mettre (x-2)² ?; et la valeur interdite est en 1 alors je dois rajouter 1 au tableau?
ton dénominateur déjà c'est (x-1)² et pas (x-2)²
la valeur interdite est en 1, OK
Donc oui il faut mettre une ligne (x-1)² avec des + et une double barre en dessous de 1.
Et recopier la double barre en 1 dans la ligne "le tout" (que tu devrais appeler f(x))
un - entre 1 et 3 dans la ligne f(x) (et la ligne x²-2x-3 aussi) et un + après 3 seulement.
oui c'est le tableau de signes de f'(x) donc il faut mettre f'(x)
et une ligne f(x) en dessous avec les variations de f(x)
OK alors pour faire le tableau de variation, f(x) est croissant quand que f'(x) est positif? Je ne m'en souvient plus très bien.
Ah et au fait, je n'avais pas vu que ce n'était pas la même personne, Bonjour Glapion et merci de m'aider 
oui quand la dérivée est positive la fonction est croissante et quand elle est négative, elle est décroissante.
Pour compléter le tableau, on met d'habitude des 0 dans la ligne f'(x) quand la dérivée s'annule et on mets dans la ligne f(x) les variations mais aussi les valeurs ou les limites de la fonction pour chaque valeur qu'il y a dans la ligne x.
Merci, je vais compléter et concernant la question 4, j'ai oublié se qu'était des extremums locaux, pourrait tu me le rappelé s'il te plait?
ce sont les points où la dérivée s'annule ( une tangente horizontale, donc où la fonction marque un maximum ou un minimum local).
"locaux", cela signifie identique ?
non pas du tout. local, ça veut dire "pas loin"
un extremum est local car un minimum ou un maximum par rapport aux points qui sont proches mais par exemple il peut y avoir un maximum plus important mais plus loin.
prenons un exemple :
A est un minimum "local" mais pas "global" parce que le minimum global de la fonction c'est B.
Je comprend mieux mais je ne vois pas comment le savoir dans notre exercice car je n'ai pas l'impression qu'il y en a, la fonction ressemble à une fonction inverse et de plus je ne c'est pas comment l'expliquer.
tu as un maximum local en -1 et un minimum local en +3 comme te l'a confirmé ton étude des variations de la fonction.
Je ne sais pas si on dois argumenter par le tableau ou par autre chose et si c'est par le tableau de quel façons procédé ?
ben tu expliques, tu dis que sont ces des extremums et que le premier est un maximum local et l'autre un minimum local parce que les variations de la fonction le montrent.
D'accord et merci pour ton aide. Maintenant je ne comprend pas comment faire la partie B, on sait que l'abscisse est x mais je ne vois pas comment faire.
ben tu as bien une fonction f dans ton énoncé
quand on dit f(50), c'est l'image de 50 par cette fonction là !! t'es réveillé là ? 
Voici mon avancé:
M(50;f(50))
f(x)=(x²-2x+5)/(x-1)
f(50)=(50²-2*50+5)/(50-1)
f(50)=2405/49
Et on fais pareil avec N(85;f(85))
Mais il faut trouver "l'équation réduite" et en occurrence se n'ai pas une equation je me trompe?
M(50;f(50))
f'(x)=(x²-2x-3)/(x-1) ²
f'(x)=(50²-2*50-3)/(50-1)²
f'(x)=2397/2401
y=(2397/2401)*(x-2397/2401)+ 2405/49
Maintenant c'est correct? Si oui alors il faut faire pareil avec mon point que j'ai appelé N.
Comment sa je perd du temps, expliquer moi quel est mon problème dans mon exercice car j'ai calculé f'(50) comme on me la dis puis vous m'avez demander se qu'était la formule, je vous est répondu donc expliquer moi quelle est le calcul car apparemment il est mauvais.:?
La formule est f'(a)(x-a)+f(a)
je ne fais que passer
mais ça manifestement c'est pas une équation de tangente ! y a pas d'équation du tout d'ailleurs....
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