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Dérivation de somme

Posté par
lopito56 24-10-16 à 18:54

Bonjour,

J'ai pour un DM de math besoin de dériver la fonction suivante pour n\geq 2

f_{n}(x)=e^{-x}(\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!})

Sachant que je doit trouver f'_{n}(x) = -e^{-x}\frac{x^{n}}{n!} (c'est indiqué par l'énoncé).

En réalité je m'en sort bien lorsque je remplace n par un nombre, par exemple par 2 :

f(x)=-e^{-x}(\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!})

Je trouve :
f'_{n}(x)= -e^{-x}(\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}) +e^{-x}(1+\frac{2x}{2!})

Je développe tout se simplifie et au final je trouve :

f'_{n}(x) = -e^{-x}\frac{-x^{2}}{2!}

soit bien f'_{n}(x) = -e^{-x}\frac{-x^{n}}{n!}

Mais quand je le fait avec des n c'est le bazar cela ne se simplifie plus je ne comprends pas

Merci pour votre aide !

Posté par
Seuzre : Dérivation de somme 24-10-16 à 19:06

Bonsoir,

Très bonne idée de tester avec des valeurs quand on ne comprend pas bien la chose !

Pourrais-tu écrire f_n'(x) explicitement ?

Posté par
lopito56re : Dérivation de somme 25-10-16 à 12:22

Avec n = 3 :

f_{3} (x) = e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!})

donc :

f'_{3}(x)= -e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!})+e^{-x}(1+x+\frac{3x^{2}}{3!})

Je développe :

f'_{3}(x)= -e^{-x} -xe^{-x}-\frac{x^{2}e^{-x}}{2!}-\frac{x^{3}e^{-x}}{3!} + e^{-x} + xe^{-x}+\frac{3x^{2}e^{-x}}{3!}

Je simplifie :

f'_{3}(x)= -\frac{x^{2}e^{-x}}{2!}-\frac{x^{3}e^{-x}}{3!}+\frac{3x^{2}e^{-x}}{3!}

Encore :

f'_{3}(x)=-\frac{x^{3}e^{-x}}{3!}

Je trouve bien f'_{n} (x)= -e^{-x}\frac{x^{n}}{n!}  avec n = 3

Avec n :

f_{n} (x) = e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!})

Je dérive :

f'_{n}(x)= -e^{-x}(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+...+\frac{x^{n}}{n!})+e^{-x}(1+x+...+\frac{nx^{n-1}}{n!})

Je développe :

f'_{n}(x)= -e^{-x} -xe^{-x}-\frac{x^{2}e^{-x}}{2!}-...-\frac{x^{n}e^{-x}}{n!} + e^{-x} + xe^{-x}+...+\frac{nx^{n-1}e^{-x}}{n!}

Maintenant je simplifie :

f'_{n}(x)=-\frac{x^{2}e^{-x}}{2!}-...-\frac{x^{n}e^{-x}}{n!}+...+\frac{nx^{n-1}e^{-x}}{n!}

Et la je suis coincé ... Je ne sais plus comment simplifier les deux termes en trop par rapport a mon résultat

Posté par
Seuzre : Dérivation de somme 25-10-16 à 12:47

Pourquoi développer ? Factorise, tu verras peut-être mieux Tu y es presque...

Posté par
lopito56re : Dérivation de somme 25-10-16 à 13:29

Alors si je factorise :

f'_{n}(x) = e^{-x}(-1+1-x+x-\frac{x^{2}}{2}+...-\frac{x^{n}}{n!}+\frac{nx^{n-1}}{n!})

Effectivement sa se simplifie au début mais après :/

f'_{n}(x) = e^{-x}(\frac{x^{2}}{2}+...-\frac{x^{n}}{n!}+\frac{nx^{n-1}}{n!})

En fait je ne sais pas trop quoi faire quand j'ai +...+ ou -...-  

Posté par
Seuzre : Dérivation de somme 25-10-16 à 13:51

C'est la même chose ! Écris autant de termes que tu le veux si ça peut te faire comprendre

Posté par
lopito56re : Dérivation de somme 25-10-16 à 14:03

Ok je pense avoir compris en fait à chaque fois les termes se simplifie avec la dérivée suivante on a

-\frac{x^{n}}{n!}+\frac{(n+1)x^{n+1-1}}{(n+1)!} = 0   ?

Mais je ne vois pas trop comment l'expliquer


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