Bonjour,
Je n'arrive pas à voir où je me suis trompé dans mon exercice pour lundi. Je vous écris l'énoncé ci-dessous.
f est définie sur l'intervalle [0;60] par f(t) = t²e^(-0.1t).
1. Démontrer que f′(t) = 0,1t(20−t)e^(−0,1t).
2. Étudier les variations de la fonction f sur [0; 60].
3. a. Justifier par le calcul que, sur l'intervalle [0; 15], la courbe représentative de la fonction f admet un unique point d'inflexion. Préciser une valeur arrondie à l'unité de l'abscisse de ce point d'inflexion.    
   b. Donner une interprétation concrète de cette abscisse.
C'est à la question 3.a. que j'ai un souci. Mais je vous écrit quand même ce que j'ai fait pour les questions précédentes.

Pour la 1. je dérive f(t) :
f=u*v avec u(t) = t² u'(t) = 2t
v(t) = e^(-0.1t) v'(t) = -0.1e^(-0.1t)
f'=u'v+uv'
f'(t) = 2te^(-0.1t) + t²(-0.1e^(-0.1t))
= (2t + (t²*(-0.1))e^(-0.1t)
= (2t - 0.1t²)e^(-0.1t)
= 0.1t(20 - t)e^(-0.1t)

2. f'(t) = 0,1t(20−t)e^(−0,1t)
On étudie le signe de f' : e^(-0.1t) > 0 pour tout t appartient à ℝ
0.1t(20-t) >= 0 ⇔ 0.1 t >= 0 et 20-t >= 0 ⇔ 0.1 t >= 0 et t <= 20
Je fais le tableau de signes, et je trouve que f est croissante sur l'intervalle [0;20] et décroissante sur l'intervalle [20;60].

3.a. C'est ici que je rencontre un problème. Pour répondre à la question, je pense qu'il faut calculer f''(x), étudier son signe et remarquer qu'elle s'annule en changeant de signe.
f'(t) = 0,1t(20−t)e^(−0,1t) = (2t - 0.1t²)e^(−0,1t) J'ai développé pour faciliter la dérivation.
f' = u*v avec u(t) = 2t - 0.1t² u'(t) = 2 - 0.2t
v(t) = e^(-0.1t) v'(t) = -0.1e^(-0.1t)
f''(t) = (2 - 0.2t)e^(-0.1t) -0.1e^(-0.1t)(2t - 0.1t²)
= e^(-0.1t)(2 - 0.2t -0.1(2t - 0.1t²))  factorisation par e^(-0.1t)
= e^(-0.1t)(2 - 0.2t -0.2t + 0.1t²)
= e^(-0.1t)(2 - 0.4t + 0.01t²)
Je me suis trompé dans la factorisation ou dans la dérivée de f' car sur geogebra les courbes tracés ne sont pas identiques.
On étudie le signe de f' :
e^(-0.1t) > 0 pour tout t appartient à ℝ
2 - 0.4t + 0.01t² est un polynôme du second degré
Δ = 0.01² -4*(-0.4)*2 = 3.2001
Δ>0 donc il y a deux racine, et le polynôme est du signe de a (a = 0.01) sauf entre les racines.
x(1) = (0.4 + √3.2001)/0.02 = ~109.4
x(2) = (0.4 - √3.2001)/0.02 = ~69.4
Et donc sur l'intervalle [0;15], je ne trouve pas de point ou f'' s'annule en changeant de signe.

Pour le 3.b., je ne vois pas quoi répondre.

Merci de m'apporter de l'aide. J'espère avoir tout recopié sans erreur.