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Dérivation et étude de fonction

Posté par
Mathes1 22-12-20 à 20:38

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit f la fonction numérique définie par : f(x)=x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j)
1) Vérifier que Df=]-\infty;0] ]1;+[
réponse
Df={x/\dfrac{x}{x-1}>0 et x-1≠0}
={x\x≥0 , x-1>0,x≤0 ,x-1<0 et x\{1}}
Df=]-;0]]1;+[
2) a) Montrer que la droite (D) : y=x-2 est une asymptote oblique de Cf au voisinage de +
réponse
•\lim_{x \to +\infty } x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}=\lim_{x \to +\infty } x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x(1-\dfrac{1}{x})}}=+\infty
•\lim_{x \to +\infty } \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}{x}=\lim_{x \to +\infty } =\lim_{x \to +\infty } \dfrac{x}{x}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}{x}=\lim_{x \to +\infty } 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\sqrt x }{\sqrt{x-1}x}=\lim_{x \to +\infty } 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\sqrt x \sqrt x}{x\sqrt{x²-x}}=\lim_{x \to +\infty } 1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x²-x}} =1-0-0=1
• \lim_{x \to +\infty } f(x)-1x=\lim_{x \to +\infty } x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}-1x=\lim_{x \to +\infty } -1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}=-1-\sqrt 1=-2
D'où la droite (D) d'équation y=x-2 est une asymptote oblique de la courbe Cf
b) étudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la droite (D)
réponse
Étudions le signe de f(x)-(x-2)
f(x)-x+2=x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}-1x+2=1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}
• \sqrt{\dfrac{x}{x-1}}>0<=> -\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}<0<=> 1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}<0
D'où Cf est au dessous de (D)
3) étudier la dérivabilité à gauche en 0 de la fonction f puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
\lim_{x \to 0- } \dfrac{x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}+1}{x}=\lim_{x \to 0- } \dfrac{x-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}{x}=\lim_{x \to 0- } \dfrac{x}{x}-\dfrac{\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}}{x}=\lim_{x \to 0- } 1-\dfrac{\sqrt x}{x\sqrt {x-1}}=\lim_{x \to 0- } 1-\dfrac{\sqrt x\sqrt x}{\sqrt x² \sqrt x \sqrt {x-1}}=\lim_{x \to 0- } 1-\dfrac{x}{x\sqrt {x²-x}}=\lim_{x \to 0- } 1-\dfrac{1}{x²-x} =-\infty
(Tableau de signe de (x2-x)
D'où f n'est pas dérivable à gauche en 0
Interprétation graphique ;
La fonction f admet une demi-tangente verticale à droite dirigée vers le bas
4-a) calculer f ' pour tout x Df \{0}
J'ai trouvé :
f '(x)=1+\dfrac{\sqrt{x²-x}}{2(x²-x)(x-1)}
b) étudier le signe de f ' puis dresser le tableau de variations de la fonction f
Le signe de f ' est le signe de 2(x2-x)(x-1)
Dérivation et étude de fonction
5) écrire l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 2
(T): y=f '(2)(x-2)+f(2)
=(1+\dfrac{\sqrt 2}{4})(x-2)+(1-\sqrt 2)
=x-1+\dfrac{\sqrt 2}{4} x-\dfrac{3\sqrt 2}{2}
6) construire de la courbe Cf
7) a) Montrer que la courbe Cf coupe l'axe des abscisses en unique point et dont l'abscisse appartient à ]2;5/2[
b) Montrer que -\sqrt[3]{\alpha}=1
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance je ne comprends pas ces deux questions
8) construire la courbe Cf-1
9) Soit g la restriction de la courbe f sur I=]1;+[
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g-1
Définie sur un intervalle J à déterminer
réponses
• On a g est continue sur I
Car xx-1 est continue sur I (fonction polynomial)
Et x\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} est continue sur I car est une fonction rationnelle
D'où g est continue sur I en tant que somme de deux fonctions continue sur I
• On a g est dérivable sur I car (g est dérivable sur I Df
Et on a g est strictement croissante sur I (les questions précédentes)
Puisque f est continue et strictement croissante sur I alors elle admet une fonction réciproque définie sur J=f(I)
Avec J=]\lim_{x \to 1+} f; \lim_{x \to +\infty } [=]-;+[=
b) Montrer que g-1 est dérivable sur J
On a g est continue et strictement croissante sur I
g est dérivable sur I
g '(x)≠0
Alors g-1 est dérivable sur J
c) Montrer que
(g^{-1})'(0)=\dfrac{2(\alpha -1)³}{1+2(\alpha -1)³}

(g-1)'(0)=\dfrac{1}{g '(g^{-1}(0))}
Avec g-1 (0)=
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 22-12-20 à 21:35

Bonsoir ,
Revoir le signe de f(x)-(x-2)
  puis l'expression de la dérivée ,
.

Dérivation et étude de fonction

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 23-12-20 à 11:14

bonjour à tous deux

juste une précision quant à ta réponse en 2a) (asymptote oblique)
à mon avis, il est inutile de calculer la limite de f(x)/x, étant donné que l'on te donne déjà l'équation de l'asymptote
(tu connais déjà les a et b de l'équation y=ax+b).

tu pouvais calculer directement la limite de f(x)-(x-2), et trouver 0.

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:02

Bonjour à vous deux
Merci beaucoup de m'avoir répondu
D'accord merci beaucoup de votre remarque importante (je calcule la limite de  f(x)-ax  et trouver 0)
Concernant le signe de f(x)-(x-2)
x-1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}-x+2=1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}
On a 1< x<0
Donc 0<\dfrac{x}{x-1}<\dfrac{1}{x-1}<=> 0<\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}<\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}<=> -\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}<-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}<0<=>1 -\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}<-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}+1<1

Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance
Concernant la dérivée voici la démonstration :
f '(x)=1-0-\dfrac{(\sqrt x)'\sqrt{x-1}-\sqrt x (\sqrt {x-1})'}{(\sqrt{x-1})²}=1-\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt x }\sqrt{x-1}-\sqrt x \dfrac{1}{2\sqrt {x-1}}}{x-1}=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x²-x}(x-1)}=\dfrac{2\sqrt{x²-x}(x-1)+1}{2\sqrt{x²-x}(x-1)} \\ \\ =\dfrac{\left(2\sqrt{x²-x}(x-1)+1\right)\sqrt{x²-x}}{2\sqrt{x²-x}(x-1)\sqrt{x²-x}}=\dfrac{2\sqrt{x²-x}(x-1)\sqrt {x²-x}+\sqrt{x²-x}}{2(x²-x)(x-1)}=\dfrac{2(x²-x)(x-1)+\sqrt {x²-x}}{2(x²-x)(x-1)}=1+\dfrac{\sqrt{x²-x}}{2(x²-x)(x-1)}
Merci beaucoup

**edit > fais des retours ligne dans ton Ltx, sinon, c'est trop petit **

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:11

bonsoir Mathes1

pour le signe de  1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}, tu peux faire

1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} > 0
\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} < 1
les 2 membres étant positifs, tu élèves au carré...

pourquoi dis-tu que  1< x<0     ?  de plus, 1 inférieur à  0....

je regarde la suite

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:20

ta dérivée est fausse (je n'ai pas encore retrouvé où ça coince; peut-être le passage de 2ème à la 3ème égalité)

le plus simple est de poser u = x/(x-1)  et de dériver (u)' = u'/(2u)

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:21

ah oui, plus lisible... merci la modération

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:25

5) juste, mais factorise x pour mettre sous une forme y=ax+b

7a) TVI (après avoir revu ton tableau de variation...)

7b) pars de la définition de , soit f()=0
puis manipule cette égalité pour arriver à l'énoncé

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 19:30

9) peut-être revoir la rédaction...

9c) voir cours : (g-1)'(0) = 1/g '()
utilise 7b)...

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 20:05

Bonjour
D'accord
Concernant la position relative de la courbe Cf par rapport à (D) :
f(x)-(x-2)=1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}
Si je calcule sa dérivée je trouve :
\left( 1-\sqrt {\dfrac{x}{x-1}}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x²-x}(x-1)} >0
D'où cf est au dessus de (D)
Concernant la dérivée :
Voici la démonstration pour le passage de de 2ème  ligne à la 3ème ligne :
f '(x)=1-\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt x }\sqrt{x-1}-\sqrt x \dfrac{1}{2\sqrt {x-1}}}{x-1}=1-\dfrac{\dfrac{\sqrt {x-1}}{2\sqrt x }-\dfrac{\sqrt x }{2\sqrt{x-1}}}{x-1}=1-\dfrac{\dfrac{\sqrt {x-1}\sqrt {x-1}}{2\sqrt x \sqrt {x-1} } -\dfrac{\sqrt x \sqrt x  }{2\sqrt{x-1} \sqrt {x}}}{x-1}=1-\dfrac{\dfrac{x-1-x}{2\sqrt {x²-x}}}{x-1}=1- \\ \dfrac{\dfrac{-1}{2\sqrt {x²-x}}}{x-1}=1+\dfrac{1}{2\sqrt {x²-x}(x-1)}
Merci beaucoup

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 20:57

pour la position relative : non, on ne calcule pas la dérivée, on doit étudier le signe,
je t'ai montré la piste; cf mon message de 19h11 : élève au carré puis passe le "1" dans le membre de gauche.

d'ailleurs tu conclus  "D'où cf est au dessus de (D) ", ce qui est visiblement faux:
regarde le graphique que t'a donné PLSVU, Cf n'est pas toujours au-dessus de l'asymptote oblique.


ta dérivée :  la portion de calcul que tu montres est apparemment sans erreur.
mais le problème est plus grave...

tu es parti sur : \sqrt{\dfrac{x}{x-1}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}
==> attention, sur Df, il n'y a pas égalité entre ces 2 expressions... quid si x - ?

cf mon message de 19h20

Posté par
alwafire : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 21:06

bonsoir à tous , je ne fais que passer


l'égalité \sqrt\frac{x}{x-1}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-1}} n'est valable que si x\geq0 et1<x

tenir compte de cette remarque pour les questions 3) et 4)

que représente Cf^-1 ? (question 8))

Posté par
alwafire : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 21:10

bonsoir carita

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 21:25

bonsoir alwafi
Joyeux Noël !

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 21:42

Bonjour à tous,
2-b) position relative :
j'ai trouvé
\dfrac{x}{x-1}-1<0<=> x<1<=> x \in ]-\infty ;1[
4-a)
f '(x)=1-\left(\dfrac{(\dfrac{x}{x-1})'}{2\sqrt {\dfrac{x}{x-1}}} \right)=1-\left(\dfrac{\dfrac{-1}{(x-1)²}}{2\sqrt {\dfrac{x}{x-1}}} \right)=1+\left(\dfrac{1}{2\sqrt {\dfrac{x}{x-1}} (x-1)²} \right)
Joyeux Noël à vous deux !
Merci beaucoup

Posté par
caritare : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 21:58

2b) pas tout à fait d'accord (tu montreras tes calculs que je vois où ça coince ?)
jette un oeil sur Df...
et pense ensuite à répondre précisément à la question posée.

4a) c'est bon
qu'en déduis-tu sur le signe de cette dérivée ?
refais le tableau de variation de f

Joyeux Noël à toi aussi
je reviens demain

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 24-12-20 à 23:12

Bonjour
Pour 2b)
1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} > 0
\sqrt{\dfrac{x}{x-1}} < 1
(\sqrt{\dfrac{x}{x-1}})²<12
\dfrac{x}{x-1}-1<0
Et je ne comprends pas comment faire
Merci beaucoup
Pour le tableau  de variation :
Dérivation et étude de fonction
Merci beaucoup

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 25-12-20 à 09:22

Bonjour,
Df=]-∞;0]U ]1;+∞[

pour 2b)
        encadre  x/(x-1)  sur les deux intervalles .corrige ton erreur
et corrige ton erreur
erreur pour le  tableau pour f'
Df=]-∞;0]U ]1;+∞[

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 25-12-20 à 20:10

Bonjour
2-b)
•si x Df
Alors x≤0<=> x-1≤-1 <0
On a x-1<x => (x-1)/(x-1)>(x)/(x-1)
=> 1>(x)/(x-1) <=>\sqrt 1 >\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}=> 1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}>0 <=> f(x)-y>0
Alors Cf est au dessus de (D) sur ]-;0]
•si x>1 => x-1>0
On a x-1<x <=> \dfrac{x-1}{x-1}<\dfrac{x}{x-1}<=> 1<\dfrac{x}{x-1}<=> 1-\sqrt{\dfrac{x}{x-1}}<0<=> f(x)-y <0
Alors Cf est au dessous de (D) sur ]1;+[
tableau de variation
Dérivation et étude de fonction
Merci beaucoup

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 25-12-20 à 21:08

OK pour tes réponses

f '(x)=\right)=1+\left(\dfrac{\dfrac{1}{(x-1)²}}{2\sqrt {\dfrac{x}{x-1}}} \right)=1+\left(\dfrac{1}{2\sqrt {\dfrac{x}{x-1}} (x-1)²} \right)
OK
    passe à la question 4 écrire l'équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d'abscisse 2
7) a)applique le théorème  des valeurs  intermédiaires  sur  l'intervalle ]1;+∞[ en justifiant
b)résous f(x)=0

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 25-12-20 à 21:41

Bonjour
5) (T):y=(1+\dfrac{\sqrt 2}{4})x-2\left( 1+\dfrac{\sqrt 2}{4}\right)+1-\sqrt 2
(J'ai déjà fait plus haut)
7)a) montrons que Cf coupe l'axe des abscisses en unique point dont l'abscisse ]2;5/2[ c.à.d ; ! ]2;5/2[ ;f()=0
•On a f est dérivable sur Df \{0}
Et comme ]2;5/2[ Df \{0} alors f est continue sur ]2;5/2[
•on a f(2)=1-2≈-0,41<0
Et on a f(5/2)=3/2-\sqrt{\dfrac{5}{3}}≈0,2>0
Alors 0]f(2);f(5/2)[
• on a f est strictement croissante sur ]1;+[
Alors f est strictement croissante sur ]2;5/2[ ]1;+[
Donc d'après le Théorème des valeurs intermédiaires:
! ]2;5/2[ ;f()=0
D'où cf coupe l'axe des abscisses en unique point (;0) avec ]2;5/2[
b) on a f()=0
=>\alpha-1-\sqrt{\dfrac{\alpha}{\alpha-1}}=0<=> \alpha -1=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\alpha-1}} <=> \left(\alpha -1\right)²=\dfrac{\alpha}{\alpha-1} <=> (\alpha -1)^{3} =\alpha <=>\\\sqrt[3]{(\alpha-1)^3}=\sqrt[3]{\alpha} <=> \alpha -1=\sqrt[3]{\alpha}<=> \boxed {\red{\alpha -\sqrt[3]{\alpha}=1}}
Merci beaucoup

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 25-12-20 à 22:45

5) (T):y=(1+\dfrac{\sqrt 2}{4})x-2\left( 1+\dfrac{\sqrt 2}{4}\right)+1-\sqrt 2     c'est juste mais tu peux réduire
-2\left( 1+\dfrac{\sqrt 2}{4}\right)+1-\sqrt 2=-1-1,5\sqrt{2}
Ok
  pour g
tu peux dire que g est la restriction de f  sur  l'intervalle I=]1;+∞[
et appliquer le cours, comme tu l'as fait.
puis
(g^{-1})'(0)=\dfrac{2(\alpha -1)³}{1+2(\alpha -1)³}
  indication
(g-1)'(0)=\dfrac{1}{g '(g^{-1}(0))}
Avec g-1 (0)=

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 26-12-20 à 16:45

Bonjour à tous,
On a (g-1)'(0)=\dfrac{1}{g '(g^{-1}(0))}
Avec g-1 (0)=
Et: g '(\alpha)=f ' (\alpha) =1+\dfrac{1}{2(\alpha -1)²\sqrt{\dfrac{\alpha}{\alpha -1}}}
• on a déjà que \sqrt{\dfrac{\alpha}{\alpha -1}}=\alpha -1
Donc g '()=1+\dfrac{1}{2(\alpha -1)²(\alpha -1)}=1+\dfrac{1}{2(\alpha -1)^{3}}=\dfrac{1+2(\alpha -1)^{3}}{2(\alpha -1)^{3}}
D'où :\boxed{{\color{red}{\huge (g^{-1})'(0)=\dfrac{1}{\dfrac{2(\alpha -1)³ +1}{2(\alpha -1)³}}}=\dfrac{2(\alpha -1)³}{1+2(\alpha -1)³}}}
Merci beaucoup

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 26-12-20 à 17:53


OK pour tes réponses
Tous mes voeux pour2021

Posté par
Mathes1re : Dérivation et étude de fonction 26-12-20 à 17:54

Bonne fin d'année et bon Noël !
Merci beaucoup

Posté par
PLSVUre : Dérivation et étude de fonction 26-12-20 à 18:03


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