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derivé

Posté par
hocine2725 12-11-16 à 11:45

bonjour !
voila l'exercice :
1)demontrer que la fonction inverse est derivable sur R*et que sa dérivée vaut -1/x^2 sur R* en utilisant le taux d'accroissement .

2)soit f:x-->xx(1-x) definie sur [0;1]
a) demontrer que f est derivable sur 0 et calculer f'(0).interpreter graphiquement le résultat.

b)demontrer que pour tout x[0;1[,    xx(1-x)/x-1=-x^2/x(1-x)

c)que peut on en conclure quant à la dérivabilité de la fonction f en 1? comment peut on interpreter graphiquement le resultat ?

pour la question 1:j'ai donc utilisé le taux d'accroissement comme-ci :
lim0 f(a+h)-f(a)/h=(1/a+h)-(1/a)/h=.....=-1/a^2
Donc la fonction inverse f est derivable /0

la  question 2 je n'arrive pas a la faire , je pense quil faut aussi utiliser le taux d'accroissement et qu'il y a surment un lien avec la question 1 .
merci !

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 11:46

Bonjour,

Et comment as-tu répondu à la question 1 ?

Posté par
hocine2725re : derivé 12-11-16 à 12:10

f(x)=1/x c'est la fonction inverse
donc :
lim h0=f(x+h)-f(x)/h
=((1/x+h)-(1/x))/h
=-h/x^2+xh/h
=-h/x^2+x*h*1/h
=-1/x^2+a*h
=-1/x^2
la fonction inverse est donc derivable sur /0

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 12:16

Ok.
Et tu as essayé de faire pareil pour ta 2ème fonction ?

Posté par
hocine2725re : derivé 12-11-16 à 12:24

J'ai d'abord calculé limage
f(0)=0
ensuite :
x0 f(x)-f(0)/x=f(x)/x
=xx(1-x)/x
=x(1-x)
=0

donc f'(0)=0
je ne suis pas sure que c'est ça

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 12:29

Qu'elle est une image en 0 ne veut pas dire qu'elle soit dérivable en 0.

Regarde la fonction \sqrt{x}, elle a une image en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0.

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 12:29

Oh la belle faute ! Je reprends :

Qu'elle ait une image en 0 ne veut pas dire qu'elle soit dérivable en 0.

Regarde la fonction \sqrt{x}, elle a une image en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0.

Posté par
hocine2725re : derivé 12-11-16 à 12:41

qu'est ce qu'il faut changer donc ?  

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 12:54

C'est bien cela ta fonction ?

f(x)=x\sqrt{x(1-x)}

Posté par
hocine2725re : derivé 12-11-16 à 12:57

oui c'est cela

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 13:02

Ok.
Je regarde.

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 16:51

J'ai bien une solution, mais elle est longue et plutôt ardue ...

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 17:05

Bon, allons-y.



On dit que  :

La fonction f est dérivable en x_0   si   \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}   existe et est finie.

Si tel est le cas, alors la fonction  f  est dérivable en x_0  et cette limite s'appelle nombre dérivé de  f   en x_0 et se note f'(x_0).

Il correspond à la pente de la tangente à la courbe de la fonction  f   en x_0.

En faisant tendre x vers la valeur x_0, f(x) va aussi se rapprocher de f(x_0), et la droite bleue va "se tangenter" à la courbe.

Ton f'(x_0), c'est en fait ta valeur limite de tan(\alpha) qui dans la première figure sera déterminer par :

tan(\alpha)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

c'est "la pente".

derivé

derivé

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 17:30

\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{x\sqrt{x(1-x)}-x_0\sqrt{x_0(1-x_0)}}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{x^3(1-x)-x_0^3(1-x_0)}{(x-x_0)(x\sqrt{x(1-x)}+x_0\sqrt{x_0(1-x_0)})} \\\\=\lim_{x\to x_0}\dfrac{x^3-x^4-x_0^3+x_0^4}{(x-x_0)(x\sqrt{x(1-x)}+x_0\sqrt{x_0(1-x_0)})} =\lim_{x\to x_0}\dfrac{\cancel{(x-x_0)}(-x^3-x_0^3+x^2+x_0^2+xx_0-x^2x_0-x_0^2x)}{\cancel{(x-x_0)}(x\sqrt{x(1-x)}+x_0\sqrt{x_0(1-x_0)})} \\\\=\dfrac{-x_0^3-x_0^3+x_0^2+x_0^2+x_0x_0-x_0^2x_0-x_0^2x_0}{2x_0\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\dfrac{-4x_0^3+3x_0^2}{2x_0\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\dfrac{-4x_0^2+3x_0}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}} \\\\=\dfrac{3(x_0-x_0^2)-x_0}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\dfrac{3(x_0-x_0^2)}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}}-\dfrac{x_0^2}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\dfrac{3(x_0-x_0^2)}{2\sqrt{x_0-x_0^2}}-\dfrac{x_0^2}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}} \\\\=\dfrac{3\sqrt{x_0-x_0^2}\cancel{\sqrt{x_0-x_0^2}}}{2\cancel{\sqrt{x_0-x_0^2}}}-\dfrac{x_0^2}{2\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x_0-x_0^2}-\dfrac{x_0^{\cancel{2}}\sqrt{x_0(1-x_0)}}{2\cancel{x_0}(1-x_0)}=\dfrac{1}{2}\sqrt{x_0(1-x_0)}\left[3-\dfrac{x_0}{1-x_0} \right]=f'(x_0)\text{ pour tout } x_0\ne 1

La fonction est donc dérivable en 0, mais pas en 1.

Posté par
Jedoniezhre : derivé 12-11-16 à 17:46

On a donc ;

\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=\dfrac{1}{2}\sqrt{0(1-0)}\left[3-\dfrac{0}{1-0} \right]=0=f'(x_0)

On aura donc une tangente horizontale en x_0=0

\lim_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{0(1-0)}\left[3-\dfrac{0}{1-0} \right]=\infty[/tex]
[/tex]

et une tangente verticale en [tex]x_0=1[tex]

derivé

Posté par
hocine2725re : derivé 13-11-16 à 17:48

merci pour votre réponse !
sinon pour la question (c) je pense qu'il faut dire que la fonction f n'est pas dérivable en 1  , donc graphiquement il n y'a pas de tangente

et pour la question (b) je ne sais toujours pas comment faire , mais à mon avis je pense que je dois multiplier la première fraction par quelque pour obtenir l'autre

Posté par
Jedoniezhre : derivé 13-11-16 à 18:20

Citation :
sinon pour la question (c) je pense qu'il faut dire que la fonction f n'est pas dérivable en 1  , donc graphiquement il n y'a pas de tangente

Elle n'est pas dérivable en 1 (voir mon message de 17:30), et elle a une tangente verticale en 1 (voirmon message de 17:46 ==>

On aura donc une tangente horizontale en x_0=0

\lim_{x\to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{0(1-0)}\left[3-\dfrac{0}{1-0} \right]=\infty \\

et une tangente verticale en x_0=1

Posté par
PLSVUre : derivé 14-11-16 à 17:07

Bonjour,
2° tout simplement ...
f(0)=0
f définie sur [0;1] est dérivable  à droite au point à droite x0=0+ ,si le taux d'accroissement
\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} admet une limite  à droite finie

\lim_{x\to_0^+}\dfrac{x\sqrt{x(1-x)}-f(0}{x-0} \\ \\ \lim_{x\to_0^+}\sqrt{x(1-x)}=0=f'(0)

la courbe représentant la fonction f admet une tangente horizontale au point O(0;0)
    pour x=1,  f(1)=0 et  on a démontré que
  \red {\dfrac{ f(x)}{x-1}=\dfrac{-x^2}{\sqrt{x(1-x)}}

\lim_{x\to_{1^-}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=

\lim_{x\to_{1^-}}\dfrac{-x^2}{\sqrt{x(1-x)}}

\lim_{x\to_{1^-}}-x^2=-1

\lim_{x\to_1{^-}}\sqrt{x(1-x)}=0 \\
\lim_{x\to_{1^-}}\dfrac{-x^2}{\sqrt{x(1-x)}}=\infty
la courbe représentant f  admet  demi-tangente au point  (1;0) verticale


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