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Niveau terminale
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Dérivé

Posté par
clemence1
12-09-21 à 12:16

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice :



La 1ère question, je trouve que g est décroissante sur cet intervalle.

2) x + 2 - e^x = 0

Je suis perdue

Merci d'avance
Clemence

** Fichier supprimé **

Posté par
malou Webmaster
re : Dérivé 12-09-21 à 12:32

Bonjour clemence1 et bienvenue

merci de lire ce paragraphe :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



tu y liras que comme ton énoncé était court, tu devais le recopier
recopie le et si vraiment tu as des doutes sur la manière dont tu as écrit les formules, tu posteras alors le pdf
recopie donc ton énoncé en réponse à mon message (n'ouvre pas un nouveau sujet)

ceci est nécessaire pour pouvoir retrouver les sujets déjà traités
sur notre site

Pour la question 1 : tu dois dire comment tu as trouvé ce résultat
pour 2 : dire je suis perdue est assez peu efficace, explique ce que tu ne comprends pas

Posté par
clemence1
re : Dérivé 12-09-21 à 13:25

je suis désolée je ne savais pas.

Voici l'énnoncé :

On consudère la fonction f définie sur [0 ; + l'infini[ par
f(x) = (e^x-1) / (xe^x+1)

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + l'infini[ par
g(x) = x +2 - e^x

1) Etudier le sens de variation de g sur  [0 ; + l'infini[
2) On admet que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur  [0 ; + l'infini[ .
Déterminer un encadrement de à 10^-3 près.

3) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Posté par
clemence1
re : Dérivé 12-09-21 à 13:31

Pour la question 1,
j'ai dérivé g(x)
g'(x) = 1 - e^x

Ensuite, on sait que e^x est toujours positif

Donc on cherche :
1 - e^x = 0
e^x = 1
e^x = e^0
x = 0

Puis, j'ai fait un tableau de signe,

Posté par
malou Webmaster
re : Dérivé 12-09-21 à 13:33

Citation :
Ensuite, on sait que e^x est toujours positif

cette remarque ne sert à rien ici

oK, pour la valeur qui annule la dérivée mais tu dois plutôt résoudre
g'(x) > 0 par ex pour justifier de ton tableau de signes

tu as le droit de poster l'image de ton tableau de signes

Posté par
clemence1
re : Dérivé 12-09-21 à 18:35

Voici mon tableau de signe

pdf
PDF - 161 Ko

Posté par
malou Webmaster
re : Dérivé 12-09-21 à 20:03

mais ta dérivée change de signe, l'as-tu démontré ?
tu dois étudier correctement le signe de g'(x)

Posté par
clemence1
re : Dérivé 14-09-21 à 18:36

Je sais, elle change de signe en 0 mais on doit l'étudier seulement sur [0 ; +l'infini[.

Posté par
hekla
re : Dérivé 14-09-21 à 18:41

Bonjour

Quelles sont les limites de la fonction g aux bornes

On a besoin de savoir que 0 appartient à l'ensemble image pour appliquer le TVI

Posté par
clemence1
re : Dérivé 14-09-21 à 19:01

¨Pourquoi avons-nous besoin de limites ?

Posté par
hekla
re : Dérivé 14-09-21 à 19:11

Je vous l'ai indiqué,  mais vous pouvez choisir un intervalle [a~;~b] tel que  0\in [g(b)~;~g(a)]

Ensuite on applique le théorème des valeurs intermédiaires

On a déjà montré que g est strictement décroissante.

Posté par
clemence1
re : Dérivé 14-09-21 à 19:23

Je ne connais pas le théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
hekla
re : Dérivé 14-09-21 à 19:35

Il est au programme de terminale  

Utilisez la calculatrice pour trouver deux valeurs qui encadrent 0
ou en utilisant un graphique

Dérivé

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivé 14-09-21 à 21:07

Bonsoir,
@hekla,

Citation :
2) On admet que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [0 ; + l'infini[ .
Je ne pense donc pas qu'il soit dans l'esprit de l'exercice d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
A cette époque de l'année, il peut ne pas encore avoir été vu.
Une fois l'existence du réel admise, seul le sens de variation de g est utile pour trouver un encadrement de .

Posté par
hekla
re : Dérivé 14-09-21 à 21:18

Bonsoir Sylvieg

C'est vrai qu'en début d'année on ne peut avoir fait le programme
l'encadrement peut être obtenu par un algorithme

Est-ce que c'est ceci qui est demandé ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Dérivé 14-09-21 à 21:28

Ça dépend un peu de ce que l'enseignant a fait sur d'autres exemples auparavant.
On peut entrer la fonction g dans une calculatrice graphique et utiliser des tables de valeurs.
Avec un pas de 10-1 à partir de 1. Puis un pas de 10-2 à partir d''une valeur adéquate. Puis idem avec 10-3.
C'est en fait assez rapide.

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 12:21

Oui, je n'ai jamais étudié  le théorème des valeurs intermédiaires. C'est pourquoi, j'ai ecrit la fonction sur ma calculatrice et j'ai trouvé :

g(1,146) = 4.1E^-4
g(1,147) = -0,002
Donc,    1,146 < < 1,147

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 12:23

3) de 0 à positif
      de à +l'infini negatif

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 12:30

Il faudrait être plus précise.  

Si x\in[0~;~\alpha[,\ g(x) >0 ,  si  x\in ]\alpha~;~+\infty[,\ g(x)<0  et g(\alpha)=0

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 12:32

Ensuite, voici la fin de l'ennoncé de l'exercice :

B
1) montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +l'infini[.
f'(x) =  (e^x * g(x)) / (xe^x+1)^2

Pour cette question c'est bon, je retrouve le même résultat.

2) En déduire le sens de variation de la fonction f sur  [0 ; +l'infini[.

On sait que e^x > 0 et qu'un carré est toujours positif.
Donc, il suffit d'étudier la fonction g(x).
Par conséquent, le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +l'infini[ sera le m^me que celui de la fonction g :
Donc, croissant sur [0 ; [.
              décroissant sur ] ; +l'infini[

3) Montrer que f() = 1 / ( + 1)
Cette question, je ne sais pas, j'ai simplement compris que g() = 0

4) En utilisant l'encadrement de , donner un encadrement de f() à 10^-2 près.

Je ne sais pas du tout.

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 12:34

Merci

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 12:45

Non il ne faut pas confondre le sens de variations et le signe

Par conséquent, le sens de variation signe de la dérivée de la fonction f sur [0 ; +l'infini[ sera le même que celui de la fonction g :
d'où le sens de variations de f

f(\alpha)=\dfrac{ \text{e}^{\alpha}-1}{\alpha \text{e}^{\alpha}+1}

or on sait que g(\alpha)=\alpha+2-\text{e}^{\alpha}=0 d'où \text{e}^{\alpha}=\dots

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 13:48

Ah oui, donc,

e^ = + 2

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 13:49

Maintenant on remplace dans f()

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 13:57

évidemment

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 15:09

Par conséquent, f() = (+1) / ( +2) + 1
f() = ( + 1) / (^2 + 2 + 1 )

Donc, f() = ( + 1) / ((+1)^2)

Donc, on retrouve bien en simplifiant : 1 / +1

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 15:14

En précisant que \alpha +1\not=0
Bien

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 15:17

Merci,

Ensuitre pour l'encadrement, je ne comprends pas

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 15:20

j'ai rentré  la fonction f sur ma calculatrice

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 15:29

f(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+1}

1,146<\alpha <1,147

2,146<\alpha+1<2,147

\dfrac{1}{1,147}<\dfrac{1}{\alpha+1}<\dfrac{1}{1,146}

\approx \dots<\dfrac{1}{\alpha+1}<\approx\dots

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 15:30

Calculez alors f(1,146) et f(1,147)

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 15:42

J'ai déjà calculer f(1,146) = 0,4659
f(1,147) = 0,4659

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 15:44

ENVIRON =

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 15:51

Là vous n'avez pas un encadrement  en prenant l'autre forme non plus
on n'a pas un encadrement à 10^{-2}

0,4658<f(\alpha)<0,4660

Un problème de texte ?


remarque  à 15 : 29 les dénominateurs sont faux

Dérivé

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 16:04

Oui, les dénominateurs étaient faux, je viens de comprendre

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 16:22

Une valeur approchée par excès de f(\alpha) à 10^{-2} près est 0,47

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 16:45

Donc, c'est :
0,47 > f() > 0,46

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 16:46

Car, 1/2,146 > 1/(+1) > 1/2,147

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 16:51

À  10^{-2} on ne peut départager ces deux valeurs, c'est pour cela que j'ai mis qu'une valeur approchée par excès était 0,47

on a alors l'encadrement 0,46<f(\alpha) <0,47

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 16:53

On peut également dire que c'est :
0,47> f(\alpha) > 0,46

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 16:55

C'est une tautologie

a est plus grand que b est équivalent à  b est plus petit que a

Posté par
clemence1
re : Dérivé 18-09-21 à 17:06

Merci bcp

Posté par
hekla
re : Dérivé 18-09-21 à 17:19

De rien

Bon courage pour la rédaction



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