Bonjour,
Le taux de vation sur [x;x+h] est égalà t= (f(x+h)-f(x))/h et il s'agit de vérifier s'il a ou non une limite quand h tend vers 0.

Détaille tes calculs.

greeeen, je te conseille la lecture de l'exo 1 de cette fiche, qui te montrera comment t'organiser pour éviter les erreurs dans ce genre de calcul
Quatre exercices d'applications pour débuter la dérivation

Ah ok merci, puis-je utiliser la formule de la dérivée d'un quotient pour trouver ce nombre dérivé?
En utilisant cette formule je trouve un résultat qui me paraît correct.

je ne le pense pas vu la manière dont tu as formulé l'énoncé en haut
mais quel est le véritable énoncé mot à mot....de cet énoncé va dépendre la méthode attendue

Marie emprunte l'autoroute allemande où la vitesse n'est pas limitée. Au passage de la frontière avec la France, elle se rend compte que la limitation est de 130 km/h.
Pour respecter celle-ci, elle freine et stabilise sa vitesse au bout de 4 sec. La distance parcourue en mètres par la voiture après t secondes depuis le passage de la frontière vérifie:  Pour tout t de [0;4], f(x) =(480x) / (x+12)

D'après les questions précédentes je sais que le taux de variation de cette fonction entre 0,5 et 0,5 + h est V(x)= (460,8) / h + 12,5.

Je dois donc montrer que la fonction d est dérivable en 0,5 et en déduire le nombre dérivé de cette fonction pour x= 0,5.

J'ai utilisé le théorème de la dérivée d'un quotient pour f(x) = (480x) / x+12:
Je pose u(x)/v(x) avec  u(x) = 480x  et  v(x)= x+12
                                                  u'(x)= 480  et v'(x)= 1
Par définition (u/x)'(x)= u'(x) fois v(x) fois v'(x) fois u(x) le tout divisé par v(x) au carré.
Je trouve donc (u/x)'(x)= 5760 /  (x au carré + 24t + 144)
Ainsi f'(0,5)= 36, 864 m.s soit 133 km/h.