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Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ?

Posté par
Alsoares59 04-09-16 à 12:16

Bonjour, j'ai un DNS a rendre pour la semaine prochaine, j'ai déjà fini un de mes exercices mais il m'en reste un que je n'arrive pas à finir.

Voici l'énoncé : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) =\frac{x+1}{x^2+2x+3}
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Montrer que f'(x) a le même signe que -x2-2x+1

Pour l'instant, j'en suis à : (u/v) -> (u'v-uv')/v2
u= x+1                                  u'=1
v=x2+2x+3                        v'=2x+2

\frac{1(x^2+2x+3)-(x+1)(2x+2)}{(x^2+2x+3)^2}
\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+2x+3)^2}

Déjà que j'ai sans doute fais une erreur de calcul pour en arriver là, je reste bloqué à cette étape, le v^2 me bloque complètement, je ne peux pas avancer jusqu'au tableau de signe.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
yogodore : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 12:17

Bonjour

Tout ce que tu as fait est correct pour le moment.

f'(x)=\frac{-x²-2x+1}{(x²+2x+3)²}, au dénominateur on a un carré donc quel est son signe?

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 12:53

Bonjour et merci pour la réponse si rapide je ne m'y attendais pas !

Effectivement, le dénominateur est de signe positif vu que c'est un carré, merci de me l'avoir fait remarqué.

Voilà ce que j'obtiens :
Delta = 8
Donc x1= -2\sqrt{2} et x2= 2\sqrt{2}

Tableau de signe :

x- {\displaystyle \infty } \infty

Posté par
yogodore : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 12:56

Ton tableau de signe n'est pas passé

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 12:56

Désolé pour l'erreur, j'ai envoyé sans faire exprès

x- infini-2\sqrt{2}2\sqrt{2}
f(x)-+-

Posté par
yogodore : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 13:01

Tu es sur de tes deux racines?

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-\sqrt{8}}{-2}=\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}\ne -2\sqrt{2}

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 13:11

En effet, j'ai fait une erreur de simplification autant pour moi.
Mais une fois arrivé là et au tableau de signe que dois-je faire ?

x- infini\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}\frac{2+2\sqrt{2}}{-2}     +infini
f(x)-+-

Posté par
yogodore : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 13:15

Tu peux encore plus simplifier les racines...
Tu t'es trompé dans le tableau de signe ce n'est pas f(x) mais f'(x) .
Il ne faut pas oublier aussi de regarder s'il n'y a pas de valeurs interdites (dénominateur nul)

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 14:35

Je trouve \sqrt{2}-1
En effet, petite erreur de ma part.
Je ne pense pas qu'il y ait de dénominateur nul si ?
Je reste assez perdu désolé.

x-Infini\sqrt{2}-1\sqrt{2}-1          +infini
f'(x)-+-

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 15:10

Au final j'en suis là :

f'(x) = \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+2x+3)^2}
avec le numérateur : + / - / +
et le dénominateur : Toujours posotif.

x-\sqrt{2}-1\sqrt{2}+1   +
-x^2-2x+1-+-
(x^2-2x+3)^2+++
f'(x)-+-


Donc f'(x) est de même signe (-) que -x^2-2x+1 (déjà calculé) sur S=]-;2 -1[ ]2 +1; [
et aussi (+) : [2 -1;2 +1]

Je pense avoir fait n'importe quoi mais pour l'instant j'essaye

Posté par
Priamre : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 15:27

Il me semble que la dérivée s'annule plutôt pour  x = - 1 2 .

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 18:14

Bonjour, merci pour la précision, je modifierais ça sur ma copie.
Mais pour l'instant, savez-vous si ma démarche est correcte ?
Ai-je bien répondu à la question de l'énoncé ?
Merci

Posté par
Priamre : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 19:31

S'il s'agit d'étudier le signe de la dérivée f '(x), c'est bon (compte tenu de 15h27).

Posté par
Alsoares59re : Dérivé u/v avec v=(x^2+2x+3) ? 04-09-16 à 20:03

C'est en partie cela oui car je dois prouver que f'(x) est de même signe que -x2-2x+1 . Ce que j'ai déjà pu faire grâce aux calculs si je ne me trompe pas

Merci pour ta réponse.


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