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Dérivée

Posté par
rienkapte
22-03-19 à 21:23

Bonsoir, on me demande de dérivé un truc tout simple mais  je me souviens plus.
L'énoncé est : On définit la fonction log sur ]0;+~[ par : log x = ln (x )/ ln(10)
b/ Montrer que la fonction log à le même sens de variation que la fonction ln. déterminer ses limites en 0 et en +~.

log'(x)= \dfrac{1}{x*ln(10)} ou log'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x}*ln(10) - ln(x) *\dfrac{1}{10}}{ln(10)^{2}} c'est ça je me souviens plus ?

Posté par
Yzz
re : Dérivée 22-03-19 à 21:27

Salut,

Première version.
Qui est égale à la seconde d'ailleurs, si tu veux bien comprendre que la dérivée de ln(10) n'est pas 1/10 , mais 0.

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 21:37

Ah oui c'est vraie.
Ma réponse serait :  

Log'(x) =\dfrac{ ln'(x) *ln(10) - 0 *ln(x)}{ln(10)^{2}}=\dfrac{ln'(x)}{ln10}

La fonction ln'(x) étant la dérivée la fonction ln et ln(10)>0 donc la  fonction log à le même sens de variation que la fonction ln.
\lim_{x->0} ln(x) = 0 ( je ne dois pas préciser x>0 ? ) donc \lim_{x->0}\frac{ln(x)}{ln(10)}=0 \lim_{x->~}ln(x)=+~ et ln(10)>0 donc \lim_{x->~}= +

(là où il n'y a rien c'est plus l'infinie )

edit Tilk_11> utilise de préférence \dfrac{}{}

Posté par
Yzz
re : Dérivée 22-03-19 à 21:42

Pour être plus pragmatique, on a : log(x) = kln(x) avec k = 1/ln(10) , nombre positif.
Donc : [log(x)]' = k (ln(x))' = k/x , de même signe que 1/x (donc positif) , et les limites sont les mêmes que celles de la fonction ln ...

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 21:45

D'accord merci.

Posté par
Yzz
re : Dérivée 22-03-19 à 21:45

De rien    

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 22:01

La suite c'est : Le ph d'une solution aqueuse est définie par la relation pH = -log[H3O+] où [H3O+] désigne la concentration en ions H3O+ , exprimée en mol/L

c/ Comment évolue le pH quand la concentration en H3O+ diminue ?  quand la concentration est divisée par 10 ? par 100 ?


- log'(x)\frac{-ln'(x)}{ln(10)}
=\frac{ln'(1/x)}{ln(10)}=\frac{x}{ln(10)}.
Ln(10) >0 donc -log'(x)<0 sur ]0;1[ et -log(x)>0 sur ]1;+~[ donc le pH augmente quand la concentration en ions [H3O+] diminue sur ]0;1[ et il diminue lorsque la concentration diminue sur ]1;+~ [
C'est bon comme justification ?

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 22:03

Oula qu'est que j'ai dit... -log'(x)>0 sur ]0;~[

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 22:14

Non j'ai dit des bêtises, je reprend  :

-log(x)=\frac{-ln(x)}{ln(10)}=\frac{ln(1/x)}{ln(10)}=\frac{-x}{ln(10)}<0
Donc la fonction est décroissante et donc lorsque la concentration diminue le pH augmente.

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 22-03-19 à 22:16

" On a vu que lorsque la concentration en H3O+ diminue le pH augmente donc quand la concentration est divisé par 10 ou par 100 le pH augmente."
C'est juste ça ?

Posté par
Yzz
re : Dérivée 23-03-19 à 06:28

rienkapte @ 22-03-2019 à 22:14

-log(x)=\frac{-ln(x)}{ln(10)}=\frac{ln(1/x)}{ln(10)}=\frac{-x}{ln(10)}
Complètement faux...

Posté par
Yzz
re : Dérivée 23-03-19 à 06:30

... Et mêmesi tu parles de la dérivée.
En fait, tu as l'air de penser que puisque la dérivée de ln(x) est 1/x , alors la dérivée de ln(1/x) est x.
Grosse erreur !!!

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 23-03-19 à 20:00

J'ai une autre question : On me demande : d/ Choisir une des relations algébriques de la propriété ... page... et démontrer que la fonction log vérifie la même relation. On admettra qu'il en est de même pour les autres relations.


J'ai choisie de démontrer que l\lim_{+\sim } \frac{log(x)}{x}=0
en essayant de de me retrouver dans la situation \frac{ln(x)}{x}

C'est possible ? Et ça rentre dans ce qu'ils attendent comme réponse à la question ?

Posté par
Yzz
re : Dérivée 23-03-19 à 20:03

Possible, oui...
Reste à savoir si c'est l'une des

Citation :
relations algébriques de la propriété ... ??? page... ???
Ce dont je doute, vu que c'est plutôt une propriété analytique...

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 23-03-19 à 20:05

\frac{log(x)}{x}=\frac{ln(x)}{x*ln(10)}= \frac{ln(x)}{x}* \frac{1}{ln(10)}
On sait que \lim_{+\sim }\frac{ln(x)}{x}=0 .
\frac{1}{ln(10)}>0 donc par limite de produit \lim_{+\sim } \frac{ln(x)}{x} * \frac{1}{ln(10)} = 0

C'est juste ?

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 23-03-19 à 20:08

Bah c'est indiqué comme une propriété de mon livre( " propriété 6 page 200")...
En propriété algébrique, ce serait plutôt prouver quelque chose comme log(xy)= log(x)+log(y) ?

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 23-03-19 à 20:22

Help

Posté par
Yzz
re : Dérivée 23-03-19 à 20:58

Citation :
En propriété algébrique, ce serait plutôt prouver quelque chose comme log(xy)= log(x)+log(y) ?
Oui.

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 23-03-19 à 21:19

Soit A et B deux  nombres tel que 10c=A et 10D=B
Log(A*B)=\frac{ln(10^{c}*10^{d})}{ln(10)}=\frac{ln(10^{c+d})}{ln(10)}= c+d=log(A)+log(B)
C'est juste ?

Posté par
Yzz
re : Dérivée 24-03-19 à 07:09

Pourquoi poser "Soit A et B deux  nombres tel que 10c=A et 10D=B " par avance ?
La propriété est vraie pour tous réels A et B strictement positifs, pas seulement pour les puissances de 10 ! (et ça se prouve...)

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 24-03-19 à 15:39

Donc je dis : " Soit a et b deux nombres positifs.
Log(a*b)=\frac{ln(a*b)}{ln(10)}=\frac{ln(a)+ln(b)}{ln(10)}=\frac{ln(a)}{ln(10)}+\frac{ln(b)}{ln(10)}=log(a)+log(b)"
C'est ça ?

Posté par
rienkapte
re : Dérivée 24-03-19 à 16:02

Posté par
Yzz
re : Dérivée 25-03-19 à 07:14

Correct.



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