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Dérivée
Bonsoir ,
Merci d'avance. 
Soit f la fonction définie sur [0 ;π/4] par : .
1) Démontrer que : , 1 ≤ f'(x) ≤ 2.
2) En déduire que : , x ≤ tan x ≤ 2x.
Réponses
1) f'(x)= 1+tan ² x pour tout x de [0 ;π/4].
On sait que pour tout x de [0 ;π/2+kπ[ , tan x ≥ 0 car la fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] 0 ; π/2+kπ[. (k de Z).
Donc tan² x ≥ 0 pour tout x de [0 ;π/2[
==> tan ² x ≥ 0 pour tout x de [0 ;π/4].
Or tan ² (0)=0 car tan 0=0 et tan(π/4)=1 ==> tan ² (π/4)=1
==> 0 ≤ tan ² x ≤ 1
==> 1 ≤ 1+tan²x ≤ 2
==> 1 ≤ f'(x) ≤ 2.
2)
bonsoir
peu convaincante ta démonstration !
pas vraiment utile d'avoir le signe de tan(x) pour connaitre le signe de son carré 
et je ne vois pas la démonstration du fait que tan²(x) < 1 sur l'intervalle concerné !
/4] et tu verras
Bonjour
Tu peux ajouter deux lignes à ton tableau de variations:
une avec (f(x))² c'est à dire (tan x)²
une avec 1+(tan x)²c'est à dire f'(x)
ou alors
le tableau de variations de tan x te donne un encadrement de tan x sur l'intervalle donné
Tu fais les calculs pour avoir l'inégalité demandée.
le tableau de variations de tan x te donne un encadrement de tan x sur l'intervalle donné
Tu fais les calculs pour avoir l'inégalité demandée.
D'après le tableau de variation de f(x) ,
0 ≤ tan x ≤ 1
1 ≤ 1+tan x ≤ 2
1 ≤ 1+tan² x ≤ 2
Comment justifier le passage de 1 ≤ 1+tan x ≤ 2 à 1 ≤ 1+tan² x ≤ 2 ?
A partir de la première ligne, commence par élever au carré: la fonction carré (x²) est croissante sur IR+ donc conserve le sens des inégalités.
Quel est le rapport entre les fonctions "au milieu de l'inégalité" à la question 1 et à la question 2?
(après avoir écrit le résultat du (1) pour la variable t ...)
Effectivement!
A Matheux 14:
. écris le résultat du (1) en remplaçant x par la variable t
. devant chaque terme, tu écris le signe
avec les bornes 0 et x, en ajoutant dt à la fin
C'est cela, intégrer chaque terme d'une inégalité entre les bornes 0 et x. C'est "calculer l'intégrale de ces fonctions" entre ces bornes.
. A gauche et à droite, les calculs d'intégrales sont simples
. Au milieu, regarde ce que tu as fait précédemment.
g sur [a ; b]
La manière dont la 2eme question est posée indique qu'il faut partir de l'encadrement (1) pour arriver à l'encadrement (2).
Comme au milieu on passe de f '(x) à f(x), on t'engage à "intégrer les inégalités " donc à calculer des intégrales.
C'est le but de ton prof dans cet exercice. S'il y a d'autres méthodes, je ne te les donnerai pas,car cela ne correspondrait pas au but recherché, pour ta progression. Pour ton bien.
Je commences, tu continues:
A toi de terminer!
Mais c'est un exo sur les dérivabilités et études de fonctions ..
Je ne vois pas très bien comment fonctionnent les intégrales..
trouve Une primitive de 1 : x
. trouve Une primitive de f'(x) : tan x
. trouve Une primitive de 2 : 2x
Bien!
1)Initiation à l'intégrale (que tu verras avec ton prof)
L'intégrale d'une fonction entre a et b est l'aire de la surface située sous la courbe (entre l'axe Ox et la courbe) entre a et b
Regarde dans ton livre à la page Intégrale, il y aura surement des figures.
2) Initiation au calcul d'intégrale
Cette aire, de la représentation graphique d'une fonction g, se calcule ainsi:
. trouver une primitive de la fonction g que tu appelles G
. faire le calcul simple G(b) - G(a)
3) Pour ton problème
. tu as un encadrement avec f ' (question 1)
. un théorème dit que les inégalités pour les fonctions entrainent la même égalité sur les aires, c'est à dire les intégrales (ce qu'a dit matheuxmatou)
. pour chaque ligne de ton dernier post (où tu as les primitives), calcule l'intégrale par G(b)-G(a). Ici a = ... et b = ...
. écris l'inégalité des résultats trouvés.
Tu auras une surprise!
Attention!
Précédemment, il fallait prendre t comme variable
Donc commence par rectifier l'écriture:
. trouve Une primitive de 1
. trouve Une primitive de f'(t)
. trouve Une primitive de 2
C'est une bonne question.
En fait, c'est parce qu'on cherche un encadrement de f(x) [question 2] et donc il faudra "savoir comment varie f ' entre 0 et x". Donc on donne un autre nom de variable pour f ', par exemple t.
Grosso modo:
x est la variable de la fonction f
t est la variable de la fonction f ', dont on va prendre une primitive entre 0 et x
Dans l'immédiat, vois tu un rapport entre ton post de 19.22 et l'énoncé de la question 2?
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