Bonjour
OK pour la dérivée 1re
par contre quand tu dérives le dénominateur (1+e^x)², ce n'est pas bon

Bonjour

La dérivée seconde est fausse parce que la dérivée de l'est.

Pour montrer qu'une fonction est croissante on regarde le signe de sa dérivée première.

n , ne dépendant pas de x , ne doit pas figurer dans l'expression de f''(x)

Je reprends la calcul de la dérivée seconde:

On calcule d'abord la dérivé de (1+e^x)²:
Pour cela on applique: (uⁿ)' = u' u^n-1
( (1+e^x)² )' = 2 e^x (1 + e^x)

Calculons maintenant f''_n(x):



2) En déduire que la fonction fn est strictement croissante sur R.
Etudions le signe de la dérivée première f'_n(x)



Il faut arriver à montrer que -e^x / (1+e^x)² est inférieur à n pour montrer que f'_n(x) est de signe positif ?
Comment procéder ?

Et si tu étudiais les variations de f'n(x) pour déterminer son signe.

C'est bien ce que j'ai écris non ? mais j'aimerais savoir comment procéder.
Je tente:
Cherchons les racines de f'_n(x) = 0

soit

e^x  = n (1+e^x)²
= n (1+e^x) (1+e^x)
= n (1 + 2e^x + e^2x)
= n + 2ne^x + ne^2x
= e^x ( n/e^x + 2n + ne^x )

soit en divisant par e^x les deux coté de l'égalité
1 = n/e^x 2n + ne^x

Est-ce qu'avec cette expression je suis plus avancé pour étudier le signe de f'_n(x) ?

bonjour,

pour étudier les variations  d'une fonction, on étudie  le signe de se dérivée.
ainsi pour étudier les variations de   f'(x), tu peux étudier le signe de f''(x).  

une fois que tu auras les variations de f'(x), tu pourras conclure sur son signe, et donc sur les variations de f(x).

je ne fais que passer en attendant le retour des intervenants précedents.

Mais là j'en suis à la question 2) montrer que f_n est croissante.
Pour ce faire je dois étudier le signe de f'_n: positif => fn est croissante.
Pour trouver le signe de f'_n, je dois étudier ces variations.

tu n'as pas bien lu mon message, je crois, car toi et moi, on dit la même chose.

tu veux montrer que f'(x) est positive.
Mai ça n'est pas facile avec l'expression de f'(x), donc on fait autrement  : on étudie les variations de f'(x), et ça nous permettra de voir qu'elle est toujours positive.
Pour étudier les variations de f'(x), on étudie le signe de sa dérivée  f''(x). (et ça, c'est plus facile !).

Re bonjour
@Leile
Le signe de se calcule directement sans utiliser .
Le signe de la dérivée seconde servira pour déterminer le point d'inflexion de
1) réduction au même dénominateur et réarrangement des termes en :
2) la dérivée est du signe du trinôme d'inconnue
Un calcul de son discriminant t'indiquera que son signe est négatif pour ce qui est le cas ; son signe est donc celui de n, coefficient de , qui est positif.
A toi pour le détail des calculs ...

bonjour Panurge,
en effet, on peut répondre comme tu le fais.

Perso, comme godestalbin avait du mal avec f'(x), je lui ai donné une autre façon d'y arriver  ; et en relisant le topic en entier, je vois que gerreba était sur la même piste.  

Voyons ce que godestalbin adopte !
Bonne soirée.

Ok pour la réduction au même dénominateur, j'arrive à refaire le calcul sans problème.

On a donc le polynôme ne^2x + (2n-1)e^x +n
Donc a=n, b=(2n-1), c=n
Discriminant=b²-4ac=(2n-1)² - 4n²
=4n² -4n + 1 -4n² = -4n+1
Donc si on résouds -4n+1=0 on a bien n=1/4
Donc si n<1/4 le discriminant est positif, il y a deux racines
et si n>1/4 le discriminant est négatif, aucune racine.
n est un entier naturel non nul donc une valeur >=1.
On est donc bien dans le cas ou n>1/4 avec un discriminant négatif.

Le signe de f'n(x) est le signe de a. Comme n est positif f'n(x) est positive ce qui nous permet d'affirmer que la fn(x) est strictement croissante.

Je passe à la question 3) Démontrer que la courbe Cn admet un seul point d'inflexion, noté A. Déterminer les coordonnées de A.
Le point d'inflexion est déterminé par les valeurs pour lesquelles la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
Il faut donc trouver la/les valeurs pour lesquelles f''_n(x) = 0

Précédemment on a calculé la dérivée seconde:



pour que f''_n(x)= 0 il faut que le numérateur e^x(e^x-1) soit égal à zéro.
On résoud donc e^x(e^x-1) = 0
soit e^x-1=0, soit e^x=1 donc pour x=0

Pour une valeur <0 f''_n(x) < 0, en effet e^-1(e^-1-1) = -0,23.
Pour une valeur >0 f''_n(x) > 0, en effet e¹(e¹-1) = 4,67.

f_n(0) = 1 / (1 + e⁰) + n * 0 = 1/2
Le point d'inflexion est donc A(0, 1/2).

Merci de contrôler ma réponse.

Personne?
Alors je me lance:

2 petites remarques:

Pour la dérivée,

Peut-être encore plus simple, sans mettre au même dénominateur,  sans discriminant.
te donne    soit  

Avec tu as directement


Pour la dérivée seconde, peut-être juste écrire que est du signe de , fonction croissante ) qui s'annule en 1.  Ainsi   change de signe en 1. Du point de vue de la rédaction, je pense que ton argument de prendre un point à gauche en -1 et à droite en 1  n'est pas valide si tu ne dis pas aussi que c'est strictement monotone sur  [-1;1]

Je m'étais  fait la même remarque que fabo34 que je salue et qui m'a devancé dans sa réponse.

Ah, je n'ai pas appuyé sur le bon bouton !!
Je reprends mon message à son début.

Evaluer en ou en ne constitue pas une preuve du changement de signe de cette expression de  part et d'autre de .
La fonction étant définie, monotone, croissante sur R , est ce qui prouve que est du signe de x pour tout réel x