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dérivée à droite

Posté par
bouchaib 05-08-21 à 21:40

bonsoir,
Exercice:  On considère la fonction  \left\lbrace\begin{matrix} f(x)=x^{2}+2 & ; & x\leq 1 \\ f(x)=-\frac{2}{x}+5&; & x\succ 1 \end{matrix}\right.,
La question : Montrer que :  \lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2.

Ma réponse :  \lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{\frac{-2} {x}+5 -2}{x-1}=\frac{-2+3x}{x(x-1)} ceci me donne l'infini et non 2.
Et je crois erreur dans les données.
c'est une activité pour construire la notion de la dérivabilité à droite.
Mais si je me place dans la notion  de la fonction dérivée , je dois choisir f(x)=x2+1 et f'(1)=2  effectivement,
Je voudrais savoir si c'est moi?
Merci par avance.




Posté par
larrechre : dérivée à droite 05-08-21 à 21:52

Bonjour,

Tu fais une erreur de calcul, f(1) n'est pas égal à 2

Posté par
larrechre : dérivée à droite 05-08-21 à 22:03

Il faut aussi vérifier comment f se prolonge par continuité à droite au point x=1

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 05-08-21 à 22:38

f(1)= 12+1=2
Car je dois la calculer à partir de cette fonction puisque 1[1; +infty[.
Sinon je me trompe aussi dans le choix de la bonne f.
Merci  encore

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 05-08-21 à 22:40

Pardon ]-infty, 1] .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : dérivée à droite 06-08-21 à 08:00

Bonjour,
f(1)= 12+2

Que tu calcules avec l'une ou l'autre expression, on trouve 3 pour f(1).
Pour répondre à la question posée, il faut travailler à droite de 1 ; donc avec la seconde expression comme tu l'avais fait, mais en corrigeant ton erreur sur f(1).

Recommence avec \dfrac{(\frac{-2} {x}+5) -3}{x-1}

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 09:42

Merci.
C'est moi ! J'ai commis l'erreur  au départ quand je copiais l'exercice à partir du livre : donc la première fonction, sur ]-\infty; 1] est f(x)=x^{2}+1.
Pardon de perdre tout ce temps.

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 13:28

Donc  ma question est toujours posée .
Je ne trouve pas fd'(1)=2 mais indérivable.

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 16:13

Je voudrais toujours une réponse à cette question.

Posté par
heklare : dérivée à droite 06-08-21 à 16:56

Bonjour

si vous considérez la fonction f définie par

\begin{cases}f(x)=x^2+1 &\text{ si  }x\in]-\infty~;~1]\\f(x)=\dfrac{-2}{x}+5& \text{si }\  x\in ]1~;~+\infty[\end{cases}

on a alors \displaystyle \lim _{\stackrel{x\to 1}{x\leqslant1}}f(x)=2 et \displaystyle \lim _{\stackrel{x\to 1}{x>1}}f(x)=3

Il y a  un problème de continuité   Le texte original était correct

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 17:22

Merci, ce que j'ai remarqué.
Il y a une erreur au niveau du livre.
IL est écrit exactement ce que vous avez réécrit .
Le livre est entre mes mains.
Donc je dois passer à autres choses car je considère cet exercice infaisable.
Merci encore.

Posté par
heklare : dérivée à droite 06-08-21 à 17:52

Il n'est pas infaisable. On a démontré que la propriété demandée était fausse

Avec l'autre texte on peut montrer que \displaystyle \lim _{\stackrel{x\to 1}{x>1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2

f(x)-f(1)=\dfrac{-2}{x}+5-3=\dfrac{2(x-1)}{x}


\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{2}{x} et x \not=1


\displaystyle \lim _{\stackrel{x\to 1}{x>1}} \dfrac{2}{x}=2

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 17:59

Donc coïncidence  mon erreur au premier post, j'ai mis 2 pour la   fonction f sur l'intervalle ]-;1] a peut être corrigée, sans le vouloir, l'erreur du livre: j'ai mis 2 au lieu de 1 après le x2.
Est-ce-cela?
Merci par avance.

Posté par
heklare : dérivée à droite 06-08-21 à 18:35

Avec

\begin{cases}f(x)=x^2+2 &\text{ si  }x\in]-\infty~;~1]\\f(x)=\dfrac{-2}{x}+5& \text{si }\  x\in ]1~;~+\infty[\end{cases}

il n'y a pas de problème  On a bien

\displaystyle \lim _{\stackrel{x\to 1}{x>1}}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2

Ainsi comme le faisait remarquer Sylvieg  quelle que soit l'expression prise on a bien f(1)= 3

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 18:38

donc je dois remplacer le 1 du livre par 2, et l'exercice  redevient solvable.
Merci.

Posté par
heklare : dérivée à droite 06-08-21 à 19:17

Absolument

De rien

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 19:38

Merci de votre soutien.
Et belle soirée à tous .

Posté par
larrechre : dérivée à droite 06-08-21 à 19:44

bouchaib @ 06-08-2021 à 18:38

...et l'exercice  redevient solvable.
...


Non, "résoluble"

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 20:33

Ok.
C'est vrai. Solvable Finances.
Merci.
Mais j'ai entendu dire cela dans un contexte .

Posté par
bouchaibre : dérivée à droite 06-08-21 à 20:39

Donc soluble !
J'ai confondu ces deux mots.
On continue à apprendre toujours.
Merci.

Posté par
larrechre : dérivée à droite 07-08-21 à 08:57

Posté par
NoPseudoDispore : dérivée à droite 08-08-21 à 03:02

Faudrait pas le dissoudre quand même


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