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Dérivée composée
Bonjour,
Cela va faire une heure que je tourne et retourne cette dérivée sans arriver à la conclusion attendu:
u(x)=1/(√(x²+1)+x)
Montrer que la dérivée de la fonction u'(x)= -u(x)/√(x²+1)
Ce que j'ai tenté :
(Trouver la dérivée de racine):
On a 1/(√(U(x))+x)
U(x) = x²+1
U'(x) = 2x
Donc
U'(x)=2x/2*√(x²+1)
U'(x)= x/√(x²+1)
Ensuite, on a:
W(x)=U(x)+V(x)
Avec V(x) = x et V'(x) = 1
Soit:
W'(x)= U'(x)+V'(x)
W'(x)=(x/√(x²+1))+1
W'(x)=(x/√(x²+1))+(√(x²+1)/√(x²+1))
W'(x)=x+√(x²+1)/√(x²+1)
Après on a:
f(x)= 1/W(x)
f'(x)= -W'(x)/(W(x))²
= -( (x+√(x²+1)/√(x²+1) )/(√(x²+1)+x)²
= - (x+√(x²+1)/√(x²+1))*(1/(√(x²+1)+x)²)
= - x+√(x²+1)/(√(x²+1)*(√(x²+1)+x)²)
Et après j'ai fait un peu n'importe quoi avec le (√(x²+1)+x)² car je ne sais plus comment on développe avec le carré
En soit je crois que je suis partie un peu trop loin
C'est vrai que c'est fouillis, désolé,
J'ai commencé par faire la dérivée de la racine carré (appelé U(x))
Ensuite j'ai dérivée le bas de la fraction qui avait la forme u+v (nommé W(x))
Puis j'ai dérivée 1/W(x)
Comment ça peut faire ça PLSVU ?
Bonjour,
Ton raisonnement semble bon. Pour info suite à ce commentaire
Et après j'ai fait un peu n'importe quoi avec le (√(x²+1)+x)² car je ne sais plus comment on développe avec le carré
PLSVU
Alors hum,
1/√3+1 * √3-1/(√3-1)
= √3-1/(√3+1)(√3-1)
Je bug totalement, je met au carré ? Je sais pas comment tu en arrives à 2
Bonjour Momaths69,
J'ai oublié, j'ai tenté ça
√(x²+1)*√(x²+1)*x²
Et ça m'a donné
√(x²+1)/u(x)
L'inverse de se que je cherche ..
√(x²+1)* √(x²+1) + 2x√(x²+1)² + x²
= √(x²+1) +2x + x²
Mais après c'est étrange
(√(x²+1)) * ( √(x²+1) + 2x + x²)
= √(x²+1)² + 2x√(x²+1) + x²√(x²+1)
ceci est un exemple:
expression conjuguée de √a+b =√a-b ( irrationnel)
en multipliant (√a+b)(√a-b)=a-b^2 expression rationnelle
il faut reconnaître une identité remarquable vue au collège
ce qui permet d'obtenir une expression très simplifiée de u facilement dérivable [rouge]en une ligne de calcul/rouge]
Je comprends pas où je dois l'appliquer, sur (√(x²+1))² ? Parce que c'est pas la même forme que √a + b
Je galère désolé
-√(x²+1) -x non un signe "-" de trop
est l'expression conjuguée de
multiplie et divise par
qu'obtiens-tu?
(x²+1) -1 /1
Pourquoi -1 ? C'est pas censé être - x ?
.. x/√x+1
Mais j'ai faux car c'est pas ça que je dois trouver donc bon
Ou
u = √x²+1 - x
u' = 2x/2√x²+1 -1
u' = x/√x²+1 -1
u' = x/√x²+1 - √x²+1 /√x²+1
u' = x - √x²+1 / √x²+1
Et on met un moins devant, pour changer les signe du haut ?
oups erreur de frappe tu as corrigé 
u(x)= √(x²+1 )- x OUI
il manque les parenthèses
OK
Et on met un moins devant, pour changer les signes du haut ?
il faut montrer que
u'(x)=-u(x) /(√x^2+1)
en justifiant
u(x)=............
d'où -u(x)=..........
et
-u(x)/√(x^2+1)=..........
Désolé pour l'attente !
u(x)= 1/√x²+1 + x
d'où -u(x)= - 1/√x²+1 + x
et
-u(x)/√(x^2+1)= -(1/√x²+1 + x)/√x²+1
Ça suffit comme justification ? *au sens où je n'ai pas l'impression que ça en est une*
d'où
si tu veux retrouver l'expression donnée de u , tu peux multiplier u' par la quantité conjuguée de
=\dfrac{-u(x)}{\sqrt{x^2+1}}
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