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dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique

Posté par
khal12 22-07-22 à 18:24

Bonjour
Je bloque sur le raisonnement par récurrence (l'hérédité) de cet exercice

Soit la fonction  f_{n}(x)=x^{n}e^{x-1}+1  avec  n\in N
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel k on a : f_{n}^{(k)}(x)=e^{x-1}x^{n-k}\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-\left(k-p \right) \right)!}}\times x^{p}
( f_{n}^{(k)}(x) représente la dérivée d'ordre k )

Voila comment j'ai procédé
on doit montrer que f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1}\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\frac{n!}{\left(n-k+p-1 \right)!}}\times x^{p}
On a :

f_{n}^{(k+1)}(x)=\left(f_{n}^{(k)}(x) \right)'
=\left(e^{x-1}x^{n-k}+\left(n-k \right)x^{n-k-1}e^{x-1} \right)\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{p}}+e^{x-1}x^{n-k}\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times px^{p-1}}

=\left(e^{x-1}x^{n-k}+\left(n-k \right)x^{n-k-1}e^{x-1} \right)\sum_{p=0}^{k}{\left(\frac{k!}{p!\left(k-p \right)!} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}}+e^{x-1}x^{n-k}\sum_{p=0}^{k}{\left(\frac{k!}{p!\left(k-p \right)!} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}}\times px^{p-1}}

=\left(e^{x-1}x^{n-k}+\left(n-k \right)x^{n-k-1}e^{x-1} \right)\sum_{p=0}^{k}{\left(\frac{(k+1)!}{p!\left(k+1-p \right)!} \right)\left(\frac{k+1-p}{k+1} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}}+e^{x-1}x^{n-k}\sum_{p=0}^{k}{\left(\frac{(k+1)!}{p!\left(k+1-p \right)!} \right)\left(\frac{k+1-p}{k+1} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}}\times p\frac{x^{p}}{x}}

=\left(e^{x-1}x^{n-k}+\left(n-k \right)x^{n-k-1}e^{x-1} \right)\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\left(\frac{k+1-p}{k+1} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}}+e^{x-1}x^{n-k}\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\left(\frac{k+1-p}{k+1} \right)\frac{n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}}\times p\frac{x^{p}}{x}}

=\left(\frac{e^{x-1}x^{n-k}+(n-k)x^{n-k-1}e^{x-1}}{k+1} \right)\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\frac{(k+1-p)n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}}+\left(\frac{e^{x-1}x^{n-k}}{x(k+1)} \right)\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\frac{(k+1-p)n!}{\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}}\times px^{p}}

C'est là que je bloque je ne sais pas comment continuer surtout concernant la fraction qui est dans la somme .
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 19:41

Bonjour,

Je n'ai pas vérifié tes calculs, mais, à mon avis, tu ne t'y prends pas de la meilleure des façons. Je te conseille de recommencer.

L'hypothèse de récurrence peut aussi s'écrire:

f_{n}^{(k)}(x)=e^{x-1}\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-\left(k-p \right) \right)!}}\times x^{n+p-k}

Tu dérives ce produit de fonctions et tu mets e^{x-1}x^{n-k+1}   en facteur.

Déjà ça, on verra ensuite.

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 19:43

Je corrige une faute de frappe

Tu dérives ce produit de fonctions et tu mets e^{x-1}x^{n-k-1}   en facteur.

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 20:59

Merci pour l'idée
ok j'ai fais ce que vous m'avez dit et j'ai trouvé ceci après simplification (j'espère ne pas me tromper)

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1}\sum_{p=0}^{k+1}{C^{p}_{k+1}\frac{(k+1-p)n!}{(k+1)\left(n-k+p \right)\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}(x+n+p-k)}

encore là je ne vois pas comment développer pour arriver à l'expression voulue

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 21:08

Et avant "simplification" (avec les 2 signes ), tu avais quoi ? Parce que là j'ai un doute.

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 21:48

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{n+p-k}}+e^{x-1}\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times (n+p-k)x^{n+p-k-1}}

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1}\left( \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{p+1}}+\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times (n+p-k)x^{p}}\right)

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1} \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{p}\left(x+n+p-k \right)}

Est ce que c'est juste jusqu'à là ?

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 21:58

La dernière ligne est fausse.

A la ligne précédente (qui est correcte) tu peux déjà simplifier le deuxième terme dans les parenthèses : tu as n+p-k au numérateur et (n+p-k)! au dénominateur.

Tu as alors la somme de 2 polynômes. Quel est le coefficient du terme en x^p

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 22:16

Je te propose de reprendre cela demain, à moins qu'un autre intervenant ne prenne le relais. Bonne fin de soirée.

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 22:17

Oui merci pour la correction

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1} \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}\left(x+1 \right)}

Et pour répondre à votre question je dirai que le coefficient du x^p  est e^{x-1}x^{n-k-1} \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{\left(n-k+p -1\right)!}}  . C'est bien cela ?

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 22-07-22 à 22:23

larrech @ 22-07-2022 à 22:16

Je te propose de reprendre cela demain, à moins qu'un autre intervenant ne prenne le relais. Bonne fin de soirée.

Je n'ai pas vu votre message désolé, oui bien sûr pas de souci on reprend demain et encore une fois merci infiniment
bonne fin de soirée

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 10:54

Non, ça ne va encore pas. On part de:

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1}\left( \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\dfrac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{p+1}}+\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\dfrac{n!}{\left(n-k+p-1 \right)!}\times (n+p-k-1)x^{p}}\right)

On ne va plus s'intéresser qu'au polynôme entre parenthèses puisque les 2 facteurs qui le précèdent sont conformes à ce qu'on veut . Appelons-le P(x). Il faut le mettre sous la forme canonique d'une somme de monômes de degrés croissants.

Or il est la somme de 2 polynômes.

Le premier, de degré k+1 comporte des termes en x, x^2, ...,x^{k+1}

Le second, de degré k comporte des termes en x^0, x, x^2,...x^k

Au total on a donc :

1 monôme de degré 0,
2k monômes de degré p, où 0\leq p\leq k qu'on peut regrouper deux à deux
1 monôme de degré k+1

P(x) est par conséquent de la forme

P(x)= A_0+\sum_{p=1}^{k}{A_p x^p}+A_{k+1}x^{k+1}

Je te laisse déterminer les 3 coefficients, A_0, A_p et A_{k+1}

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 12:03

Je corrige la première relation :

On part de:

f_{n}^{(k+1)}(x)=e^{x-1}x^{n-k-1}\left( \sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\dfrac{n!}{\left(n-k+p \right)!}\times x^{p+1}}+\sum_{p=0}^{k}{C^{p}_{k}\dfrac{n!}{\left(n-k+p-1 \right)!}\times x^{p}}\right)

les pièges du copier-coller...

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 16:33

Citation :
Je te laisse déterminer les 3 coefficients, A_0, A_p et A_{k+1}


Bonjour

A_{0}=\frac{n!}{(n-k-1)!}

A_{p}=2C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p-1)!}

A_{k+1}=1

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 17:18

Je suis d'accord pour A_0 et A_{k+1}.

Par contre tu fais une erreur pour A_p. Il y a bien 2 coefficients binomiaux qui interviennent mais  ils ne sont pas égaux. Revoie ça et donne le détail de ton calcul.

Au passage, note que

A_0=C_{k+1}^0 \dfrac{n!}{(n-k{\red{+0}}-1)!}  et que  A_{k+1}=C_{k+1}^{k+1} \dfrac{n!}{(n-k{\red{+k+1}}-1)!}

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 17:55

Oui je vais détailler par étapes afin de reconnaitre mon erreur (il s'agit surement du C^{p}_{k}

C'est correcte pour l'instant ?

A_{p}=A_{0}+A_{k+1}x^{k+1}+\sum_{p=0}^{k-1}{C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p)!}\times x^{p+1}}+\sum_{p=1}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p-1)!}\times x^{p}}

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 18:00

Je voulais ecrire P(x) et non pas A_{p}

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 18:26

Attention, c'est P(x)=...

P(x)=A_{0}+A_{k+1}x^{k+1}+\sum_{p=0}^{k-1}{C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p)!}\times x^{p+1}}+\sum_{p=1}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p-1)!}\times x^{p}}

oui, c'est correct.

Mais si tu veux y voir plus clair il faut que tu fasses un changement d'indice dans la première somme pour que la sommation se fasse de p=1 à p=k comme dans la seconde. Vois-tu comment faire ?

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 18:38

Je ne métrise pas trop les changements d'indices mais je vais essayer

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 19:03

OK Je crois que j'ai trouvé
On pose L=p+1 donc si p=0 alors L=l et si p=k-1 alors L=k

On aura donc

  P_{x}=A_{0}+A_{k+1}x^{k+1}+\sum_{L=1}^{k}{C^{L-1}_{k}\frac{n!}{(n-k+L-1)!}\times x^{L}}+\sum_{p=1}^{k}{C^{p}_{k}\frac{n!}{(n-k+p-1)!}\times x^{p}}

P_{x}=A_{0}+A_{k+1}x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}{\left( C^{i-1}_{k}+C^{i}_{k}\right)\frac{n!}{(n-k+i-1)!}\times x^{i}}

P_{x}=A_{0}+A_{k+1}x^{k+1}+\sum_{i=1}^{k}{\left( C^{i}_{k+1}\right)\frac{n!}{(n-k+i-1)!}\times x^{i}}

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 19:09

Eh bien voilà, et en tenant compte de la remarque de 17h18, on a bien ce qu'on voulait démontrer.

Tu fais cet exercice pour t'entraîner pendant les vacances ?

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 19:32

Wow c'est génial
Non j'essaye de le faire pour quelq'un d'autre, j'aime les maths mais cet exercice m'a coincé c'est pour terminal maths mais il est un peu compliqué quand-même
Je dois dire que j'ai beaucoup appris de vous, vous avez une belle et sacrée manière d'expliquer et d'orienter merci merci beaucoup

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 19:41

Merci pour l'appréciation, c'est très gentil.

Ayant jeté un coup d'oeil sur votre profil, je comprends mieux. Je me suis dit aussi que pour une Terminale, c'est un peu difficile, non sur le fond, mais sur la méthode, on pourrait très vite se noyer dans les calculs.

Bonne continuation.

Posté par
malou Webmasterre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 19:55

Bonjour
oui, bravo d'en être arrivé à bout
mais effectivement, cet exercice n'est pas de niveau terminale

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 20:41

malou @ 23-07-2022 à 19:55

Bonjour
oui, bravo d'en être arrivé à bout
mais effectivement, cet exercice n'est pas de niveau terminale

D'accord , Merci à vous, merci pour ce magnifique site et merci à "larrech"

Mais apparemment y a un problème concernant l'hypothèse de récurrence (j'avoue que je ne l'ai pas fais avant j'ai pensé que c'est sûrement évidente) elle n'est pas vérifiée pour k=0 normalement on trouve la fonction d'origine f_{n}(x) mais avec une tout petite différence !

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 21:50

C'est la constante qui fausse tout. Si au lieu de 1 on met n'importe quelle autre constante, dans la définition de f_n, la suite des dérivées sera la même.
Il faut faire l'initialisation avec n=1.

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 22:43

Oui c'est ça donc soit on initialise avec k=0 ou soit on enlève carrément la constante de l'expression de la fonction

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 22:50

khal12 @ 23-07-2022 à 22:43

Oui c'est ça donc soit on initialise avec k=0  

Je voulais dire k=1

Posté par
larrechre : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 23-07-22 à 22:54

Oui, k=1 (on a tellement l'habitude de faire des récurrences en utilisant n que je me suis embrouillé )

Posté par
khal12re : dérivée d'un certain ordre d'une fonction paramétrique 24-07-22 à 00:13

oui je comprends, justement je crois que ça aurait été mieux si k était pour le paramètre et n pour l'ordre de dérivée
bonne fin de soirée et @+


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