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Dérivée d'une fonction
Bonjour, je suis en terminale et bien que normalement je réussisse à dériver une fonction, celle-ci me pose particulièrement problème..
f(x) = (x3 + x2 - 4x + 5) / (2x2 - 8x + 10)
On me demande de justifier que la dérivée de cette fonction est f'(x) = (2x2 * (x2 - 8x + 15)) / (2x2 - 8x +10)²
J'ai donc cherché à dériver f(x). Voilà ce que je trouve :
f est de la forme (u/v)' donc f' est de la forme u'v - uv' / v²
Avec u(x) = x3 + x2 - 4x + 5 donc u'(x) = 3x² + 2x - 4
Et v(x) = 2x² - 8x + 10 donc v'(x) = 4x - 8.
A partir de là, je trouve :
f'(x) = (3x²+2x-4)(2x²-8x+10) - (x3+x²-4x+5)(4x-8) / (2x²-8x+10)²
Pour calculer le numérateur, je ne sais pas si je peux simplement enlever les parenthèses et faire le calcul ou si je dois appliquer obligatoirement la double distributivité, mais dans les deux cas je n'ai pas trouvé 2x²*(x²-8x+15).
Je me suis aussi dit que 2x²*(x²-8x+15) était une factorisation donc je l'ai développé pour voir si cela correspondait à mes résultats, mais ce n'est pas le cas.
Je pense que le problème peut venir de u et v que j'ai peut-être mal dérivé ?
Merci de votre aide.
bonjour
tu as bien dérivé, le souci doit venir du développement ou de la réduction.
si tu veux nous montrer le détail, voir où ça coince ?
bonjour
je pense que tu peux développer tout le numérateur
et ensuite tu sauras factoriser par x² car je crois qu'il n'y aura plus de termes en x ni en constante
essaie un peu
Voilà le développement que j'avais fait :
f'(x) = (3x²+2x-4)(2x²-8x+10) - (x3+x²-4x+5)(4x-8) / (2x²-8x+10)²
Donc f'(x) = 3x²+2x-4 * 2x²-8x+10 - x3 - x² +4x - 5 * (4x - 8)
= 3x² + 2x - 8x² - 8x + 10 - x + 4x - 20x + 40 / (2x²-8x+10)²
= -5x² - 23x + 50 / (2x²-8x+10)²
Quant au développement de 2x²*(x²-8x+15) j'ai trouvé :
2x²* x² + 2x²*(-8x) + 2x² * 15
= 2x4 - 16x3 + 30x²
Je pense donc que mon développement du numérateur de f'(x) est faux?
Merci encore.
ah que non !
(3x²+2x-4)(2x²-8x+10)
tu dois multiplier chaque terme de la 1ère parenthèse avec chaque terme de la seconde .
donc au final 3*3 = 9 termes
puis idem avec (x3+x²-4x+5)(4x-8) ---- 4*2 = 8 termes
et attention au signe - entre les 2 groupes de termes lors de la réduction!
Ah donc je dois faire la double distributivité, j'avais essayé aussi mais je ne savais pas si c'était nécessaire ou pas.
Donc :
(3x²+2x-4)(2x²-8x+10) = 3x²*2x² + 3x²*(-8x) + 3x²*10 + 2x*2x² + 2x*(-8x) + 2x*10 - 4*2x² -4*(-8x) -4*10
= 6x4 -24x3 + 30x² + 4x3 - 16x² + 20x - 8x² + 32x - 40
= 6x4 - 20x3 + 6x² + 52x - 40
Pour (x3+x²-4x+5)(4x-8) :
= 4x*x3 + 4x*x² + 4x*(-4x) + 4x*5 -8*x3 -8*x² -8*(-4x) -8*5
= 4x3 + 4x3 - 16x² + 20x -8x3 -8x² + 32x - 40
= -24x² + 52x - 40
Le numérateur de f'(x) est donc (6x4 - 20x3 + 6x² + 52x - 40 )*(-24x² + 52x - 40 )
Ici, je dois encore faire la double distributivité?
(3x²+2x-4)(2x²-8x+10) = 6x^4 - 20x^3 + 6x² + 52x - 40 ---ça, c'est juste
Pour (x3+x²-4x+5)(4x-8) :
le 1er terme est faux : 4x*x³ --- ça fait un terme en x^4
tu dois arriver à 4x^4-4x³-24x²+52x-40
Le numérateur de f'(x) est donc (6x4 - 20x3 + 6x² + 52x - 40 )*(-24x² + 52x - 40 )
non entre ces 2 groupes de termes, il y a le signe -, et non pas le signe *
regarde la formule du numérateur : u'v - uv'
tu vois ?
Ah oui merci 4x*x^3 fait évidemment 4x^4.
Ah oui ce n'est pas une multiplication puisque la formule est u'v -uv'.
Donc le numérateur de f'(x) est ( 6x^4 - 20x^3 + 6x² + 52x - 40) - ( 4x^4- 4x³-24x²+52x-40 )
Donc on a 6x4 - 20x3 + 6x² + 52x - 40 - 4x4 + 4x3 + 24x² - 52x + 40
Le numérateur de f'(x) est donc 2x4 - 16x3 + 30x²
En effet si je factorise ce résultat, j'obtiens 2x² * (x²-8x+15)
Merci beaucoup pour votre aide! Je me perdais dans tous mes calculs, vraiment je vous remercie et vous souhaite une bonne soirée!
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