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Dérivée d'une fonction ln

Posté par
Z3pro974 30-07-11 à 09:35

Bonjour à toutes et à tous,
Je souhaiterais que quelqu'un me confirme ma réflexion concernant la dérivée d'une fonction s'il vous plaît:
Soit f(x) = 1/(1 + x² * ln² x) sur ]0;+[
f est du type 1/u ce qui donne -u' / u²
u est la composée de 2 fonctions g(x) = x et h(x) = 1 + x² * ln² x
Ce qui donne u' = (g o h)' = (g' o h) * h'
Là je trouve u' = [1 / (2(1+x² * ln² x))] * [x² * ln² x]'
Donc h' = (x² * ln² x)' est la composée de 2 fonctions.
Je pose a(x) = x² et b(x) = ln² x
D' où h' = (ab)' = (a'.b + a.b') = (2x * ln x) * (x + ln x)
Ainsi f'(x) = - [ [1 / (2(1 + x² * ln²))] * [(2x * ln x) * (x + ln x)] ] / (1 + x² * ln² x) ]
Voilà ce à quoi j'aboutis.
Trouvez-vous eul mèm cos' où bien y-a-t-il une erreur qui je n'ai pas vue?
Merci par avance

Posté par
Jun_Milanre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 10:09

Bonjour,

En effet, h'(x)=(1+x2*ln2(x))'=(x2*ln2(x))'. h est la multplication de deux fonctions.
En concervant les memes notations, c'est a dire, a et b, on obtient:
a'(x)=2x
b'(x)=(1/x)*2*ln(x)
d'ou h'(x)=2x*ln2x+(1/x)*2*ln(x)*x2=2x*ln2x + 2xln(x)=(2xln(x))(ln(x)+1)

Explication pour b'(x):
b(x)=ln2x
b est la composee de deux fonctions: c(x)=ln(x) suivie de d(x)=x^2.
c'(x)=1/x et d'(x)=2x
b'(x)=(doc)'(x)=c'(x)*d'(c(x))=(1/x)*2ln(x)

C'est facile de continuer a partir de la.

Sauf erreur.

Posté par
DOMOREADérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 10:12

Bonjour,
Une écriture simplifiée de f'(x)= est :
\frac{xLn(x)(Ln(x)-1)}{(1+x^2Ln^2(x))^{\frac{3}{2}}}
Je crois que tu t'es trompé dans la dérivée de Ln^2(x)
(Ln^2(x)]'=2Ln(x)\times \frac{1}{x}

Posté par
Jun_Milanre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 10:19

erreur: h est somme et multiplication de fonctions, mais la fonction x---> x2*ln2x est la multiplication de deux fonctions.

Posté par
mdr_nonre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 10:30

bonjour

\huge f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + [x.ln(x)]^2}} \\ \\ f'(x) = -\frac{\frac{2.x.ln(x)[ln(x) + 1]}{2\sqrt{1 + [x.ln(x)]^2}}}{1 + [x.ln(x)]^2} = \boxed{-\frac{x.ln(x)[ln(x) + 1]}{[1 + [x.ln(x)]^2]^{\frac{3}{2}}}}

Posté par
Lajere : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 12:15

oh là là
qu' est-ce que c' est joli
on dirait (presque une oeuvre d' art)
c' est dingue ...
... quand on ne sait pas quoi faire de ses dix doigts !!!

Posté par
Z3pro974re : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 12:32

Merci beaucoup,
vous m'avez ouvert les yeux pour la dérivée de ln ² x comme composée de 2 fonctions, c'est la base, je suis impardonnable je l'avoue
Concernant h, c'est juste la somme d'une constante et de la multiplication de 2 fonctions?
Cependant, pour la simplification de f'(x) je trouve:
- (x ln x) (ln x + 1) pour le numérateur
Et je ne comprends pas pour le dénominateur...
Comment simplifier u * u? Si c'est bien ça...

Posté par
Jun_Milanre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 13:49

h est la somme d'une constante et de la multiplication de 2 fonctions.
Pour u0, on a: \sqrt{u} \times u =u1/2\timesu=u3/2

Je n'ai pas verifie pour la simplification de f'(x).

@ aux autres: comment choisir la grandeur de l'ecriture en LATEX ? Merci.

Posté par
Z3pro974re : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 13:53

Super!
Merci beaucoup.
A la prochaine.
Toujours à l'affût mdr_non, ça fait plaisir

Posté par
mdr_nonre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 14:36

Citation :
comment choisir la grandeur de l'ecriture en LATEX ?


\Large donne \Large Hello

\huge donne \huge Hello

Posté par
Jun_Milanre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 15:36

Ok merci.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 17:05

Autrement :

f(x) = (1 + x².ln²(x))^(-1/2)

f '(x) = (-1/2).(1 + x².ln²(x))^(-3/2) * [(1 + x².ln²(x))]'

f '(x) = (-1/2).(1 + x².ln²(x))^(-3/2) * (2x.ln²(x) + 2x².ln(x)/x)

f '(x) = (-1/2).(1 + x².ln²(x))^(-3/2) * (2x.ln²(x) + 2x.ln(x))

f '(x) = -(1 + x².ln²(x))^(-3/2) * (x.ln²(x) + x.ln(x))

f '(x) = -(1 + x².ln²(x))^(-3/2) * x.ln(x) * (1 + ln(x))
-----
Sauf distraction.

Posté par
Z3pro974re : Dérivée d'une fonction ln 30-07-11 à 22:55

Waw! Mes respects pour ta version J-P, je commence à trouver ça beau les maths!

Posté par
Z3pro974re : Dérivée d'une fonction ln 31-07-11 à 02:54

Bonsoir
Je suis toujours en train de bosser sur cette même fonction f(x) = 1 / (1+x²ln²x)
En prolongeant par continuité en 0 avec lim f(x)=1 lorsque x0 je n'arrive pas à trouver la valeur de sa dérivée à droite en utilisant la formule du taux d'accroissement de f(x) en 0 soit lim [ f(0+h) - f(0) ] / h lorsque h0
Est-ce bien cette formule qu'il faut utiliser?
Parce que je me retrouve avec une expression que je ne peux même pas taper à l'ordi...
Ou y-a-t-il une astuce pour la simplification?

Merci.

Posté par
mdr_nonre : Dérivée d'une fonction ln 31-07-11 à 07:29

\huge f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + [x.ln(x)]^2}}   si  x > 0     ;    f(0) = 1 \\ \\ \\ \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + [h.ln(h)]^2}} - 1}{h} = \frac{1 - \sqrt{1 + [h.ln(h)]^2}}{h\sqrt{1 + [h.ln(h)]^2}}

faut maintenant utiliser le conjugué , tu sais ce que c'est ?

----------------------------------

\Large \blue \rm{multiplier   par     1 + \sqrt{1 + [h.ln(h)]^2}}

Posté par
Z3pro974re : Dérivée d'une fonction ln 31-07-11 à 11:25

Oui je sais, merci beaucoup mdr_non.
C'est bien ce que j'ai trouvé mais pour le conjugué, et bah je ne l'ai pas vu...
Mais comment fais-tu pour que tout celà te saute aux yeux?!
Et pourtant j'ai conscience que le niveau n'est pas très élevé...
En tous cas, respect!

Posté par
mdr_nonre : Dérivée d'une fonction ln 31-07-11 à 12:14

Citation :
C'est bien ce que j'ai trouvé mais pour le conjugué, et bah je ne l'ai pas vu...

il y a une explication ici : Comment faire . ?

Citation :
Mais comment fais-tu pour que tout celà te saute aux yeux?!

^^ ... le conjugué c'est une méthode courante de lever d'indétermination, dans le calcul de limite...
( quand on a des racines carrées )


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