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dérivée d'une fonction trigonométrique

Posté par
Khola22
25-10-20 à 15:59

Bonjour !
Une fois j'ai entendu le professeur dire que \left(sin(ax+b) \right)' \neq sin'(ax+b), ila avait dit que la première se résoud en utilisant cette règle : sin'(ax+b)=a cos(ax+b), ce qui veut dire qu'elle est égale à a cos(ax+b) et la deuxième selon la dérivée de la composée, ce qui veut dire qu'elle est égale à a2 cos(ax+b).

Si c'est correct, cela me parait illogique ! Je pense qu'il y a qq chose qui cloche !!
Aidez moi svp !

Posté par
malou Webmaster
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 25-10-20 à 16:14

Bonjour

la dérivée de sin(ax+b) est : a cos(ax+b)

et que cherches-tu à faire ensuite ?

Posté par
boninmi
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 25-10-20 à 16:17

Bonjour Khola22,

Es-tu sûre d'avoir bien entendu ?
La règle de la dérivée de la composée s'applique à l'expression de gauche, c'est elle qui permet de justifier le résultat sin'(ax+b)=a cos(ax+b).
Pour l'expression de droite, sin' , si l'on utilise les conventions en usage, désigne la dérivée de la fonction sin, qui est le fonction cos. Le résultat s'écrit donc simplement cos(ax+b), il ne peut guère y avoir de a2 dans cette histoire.
Si tu posais la question à ton prof ?

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:42

malou @ 25-10-2020 à 16:14

Bonjour

la dérivée de sin(ax+b) est : a cos(ax+b)

et que cherches-tu à faire ensuite ?


Bonjour ! Je trouve qu'il y a une difference si on considere la fonction comme une composee de cos(x) et ax+b.

Posté par
malou Webmaster
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:49

ben non...
x ax+b sin(ax+b)

dont la dérivée est a * cos (ax+b)
quelle différence vois-tu ?

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:50

boninmi @ 25-10-2020 à 16:17

Bonjour Khola22,

Es-tu sûre d'avoir bien entendu ?
La règle de la dérivée de la composée s'applique à l'expression de gauche, c'est elle qui permet de justifier le résultat sin'(ax+b)=a cos(ax+b).
Pour l'expression de droite, sin' , si l'on utilise les conventions en usage, désigne la dérivée de la fonction sin, qui est le fonction cos. Le résultat s'écrit donc simplement cos(ax+b), il ne peut guère y avoir de a2 dans cette histoire.
Si tu posais la question à ton prof ?


Bonjour !
On a fog'(x) = f'(x).g'(f(x))

Avec f: xax+b
et g: xsin(x)

On a f'(x) = (ax+b)' = a
et g'(f(x)) = sin'(ax+b) = acos(ax+b)    La propriété dont on avait parlé avant

D'où fog'(x) = a2cos(ax+b).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:53

Bonjour,
Oui, il y a quelque chose qui cloche :
L'écriture (sin(ax+b))' n'est pas correcte.
On dérive une fonction, pas une expression. Ça m'étonnerait que ton prof ait écrit comme ça.
f(x) = sin(ax+b) donne f'(x) = a sin'(ax+b) = a cos(ax+b)

Et ceci est faux :

Citation :
sin'(ax+b)=a cos(ax+b)
car sin' = cos.
Si on veut dériver autre chose que la fonction sinus, il faut le noter autrement que \; sin' .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:54

Messages croisés
Je vais regarder.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 08:59

Citation :
On a fog'(x) = f'(x).g'(f(x))
\; Non.
Déjà, il faut mettre des parenthèse autour de fog.
Ensuite c'est g'(x) qui vient devant.

Citation :
f'(x) = (ax+b)' = a
Pas de ' derrière une expression ; uniquement derrière une fonction.
f(x) = ax+b ; donc f'(x) = a.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:06

Avec f(x) = ax+b et g(x) = sin(x), c'est gof(x) qui est égal à sin(ax+b) ; pas fog(x).

Formule : (gof)'(x) = f'(x) g'(f(x)) .
f'(x) = a
g'(x) = cos(x) ; donc g'(f(x)) = cos(f(x)) = cos(ax+b).

(gof)'(x) = a cos(ax+b)

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:09

Sylvieg
Oui c'est vrai, j'ai changer d'ordre en dérivant la composée.
Voici ce que je voulait dire :

Citation :

Soit f : xax+b
g : xsin(x)
Donc gof(x) = sin (ax+b)

On a f'(x) = a et g'(x)= cos(x)
d'ou gof'(x) = f'(x).g'(f(x)) = a.sin'(ax+b) = a. acos(ax+b) = a^2cos(ax+b)


Bon j'ai compris l'idée de l'expression et la fct un petit peu, mais je trouve toujours qu'on considérant sin(ax+b) une composée, le résultat n'est plus celui de la propriété.

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:11

Sylvieg

C'est un peu bizarre ce qui ce trouve dans cette ligne :

Citation :

g'(x) = cos(x) ; donc g'(f(x)) = cos(f(x)) = cos(ax+b)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:14

Je répète :
Quand on écrit sin'(bla bla), ça veut dire cos(blabla).
Exemples :
sin'(0) = cos(0) = 1
sin'(36x+27) = cos(36x+27)

Par contre si f(x) = sin(36x+27) alors f'(x) = 36cos(36x+27).
Mais f sin.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:15

Qu'est-ce qui est bizarre dans ceci ?

Citation :
g'(x) = cos(x) ; donc g'(f(x)) = cos(f(x)) = cos(ax+b).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:18

Pour tout X réel g'(X) = cos(X) ; donc pour tout x réel g'(f(x)) = cos(f(x)).
Préfères-tu comme ceci ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:18

Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:21

Sylvieg
Ah bon, il y a une différence si sin(ax+b) est une expression ou si sin(ax+b) est une fonction.
Dans le premier cas la dérivée est : cos(ax+b)
Sans le deuxième cas : acos(ax+b)
J'espère que c'est juste !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 09:47

sin(ax+b) n'est jamais une fonction.
sin(ax+b) est une expression qui permet de définir une fonction :
La fonction h définie sur par h(x) = sin(ax+b) pour tout x réel.

h sin(ax+b)

Posté par
carpediem
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 10:07

salut

en général quand on écrit \left[ f(x) \right]' on fait un abus de notation pour dire qu'on va dériver l'expression (qui est à considérer comme une fonction et non pas comme le nombre image de x par f) entre crochet

et on utilise cet abus de notation dans l'exemple type que tu donne où f(x) est une fonction composée

et cet abus de notation est différent de l'écriture naturelle f'(ax + b) qui désigne comme je l'ai appris en seconde le nombre image de ax + b par la fonction f' (dérivée de la fonction f que j'ai apprise en première)



PS : celui qui sait de quoi il parle peut se permettre (presque) tout car il pense ce qu'il lit et écrit ... mais c'est toujours difficile de le communiquer à des élèves

pour écrire rigoureusement ce qui devrait être écrit à la place de l'abus de notation il faudrait écrire  \left( x \mapsto f(x) \right)' qui est autrement plus lourd ... et quand on voit comment les élèves ne savent plus écrire maintenant ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 13:43

En fait, il faudrait écrire \left( x \mapsto f(x) \right)'(x) \;

Par exemple \; \left( x \mapsto sin(ax+b) \right)'(x) = a\times cos(ax+b) .

Posté par
carpediem
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 31-10-20 à 14:02

ouais dans une certaine mesure car la dérivation s'applique à une fonction donc la variable n'est pas nécessaire

et évidemment quand je dérive la fonction et que j'écris son expression en fonction de la variable x ... ben il apparait la variable x ... ou pas :

(x \mapsto \sin x)' = \cos (que bien sûr j'écrirai tout simplement \sin' = \cos

que je pourrai aussi écrire (x \mapsto \sin x)' = t \mapsto \cos t mais vraiment lourd !!

et je pourrai alors même écrire (x \mapsto \in (ax + b))'  (t) = t \mapsto a \cos (at + b)

Posté par
Khola22
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 04-11-20 à 20:16

carpediem Sylvieg
WOW laissez moi encore plus de temps pour absorber cela .
Merci beaucoup  !!!!!!! C'est très intéressant  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée d'une fonction trigonométrique 04-11-20 à 20:27

C'est intéressant car tu poses des questions importantes qui le sont



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