Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale DérivéesTopics traitant de Dérivées [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Derivée de la fonction reciproque

Posté par
Zzzeldaaaa 11-12-21 à 18:10

Bonjour, je n'arrive pas a résoudre un exercice de la derivation


L'énoncé est le suivant:
Soit h(x) =(1+sinx) /cosx
h réalise une bijection de [0;pi/2[ sur [1;+infini[

Mq (h^-¹)'(x)=2/(1+x^2) sans calculer h^-¹

Ma recherche:

On sait que (h^-¹)'(x)=1/h'(h^-¹(x)). Et remarquons que:
h'(x) =(1+sinx)/cos^2(x) \\          =h(x) /cosx

D'où (h^-¹)'(x)=cos(h^-¹(x))/x

Mais je suis bloqué ici...

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement

Posté par
malou Webmasterre : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 18:27

Bonjour

revois la dérivée de h

Posté par
Zzzeldaaaare : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 18:45

h'(x)=(1+sinx)/cos^2x \\         =1+(sinx)(1+sinx)/cos^2x \\         =1+(sinx)(1+sinx)/(1-sin^2x) \\         =1+(sinx)/(1-sinx) \\         =1/(1-sinx)
et apres?!!

Posté par
philgr22re : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 18:51

En attendant malou, ta derivée est toujours fausse.

Posté par
Zzzeldaaaare : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 18:57

mais, pourquoi est elle fausse?

Posté par
philgr22re : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 18:57

dérivée de u/v?

Posté par
philgr22re : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:02

desolé!Ton premier calcul de h'(x) etait juste.

Posté par
malou Webmasterre : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:07

misère, toutes mes excuses à tous les deux
bonne suite d'exo, je te laisse la main philgr22, vaut mieux !

Posté par
Zzzeldaaaare : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:07

oui c'est ça (u/v)'=(u'v-uv')/v^2
càd
h'(x) = [(1+sinx)'.cosx-cos'x.(1+sinx)]/cos^2x \\          =[cos^2x+sinx(1+sinx)]/cos^2x \\          =(cos^2x+sin^2x+sinx)/cos^2x \\          =(1+sinx)/cos^2x \\          =h(x)/cosx

Posté par
philgr22re : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:08

Bonsoir malou :ça m'arrive aussi!!!!

Posté par
Zzzeldaaaare : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:09

Je m'excuse,j'ai pas vu ta reponse

Posté par
philgr22re : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 19:10

maintenant tu penses au lien entre derivée d'une fonction et derivée de sa reciproque sans oublier le lien entre les deux fonctions bien sur!! Je susi obligé de partir là . A plus tard si personne n'a pris le relai.

Posté par
lakere : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 21:25

Bonsoir,

On a donc h'(a)=\dfrac{1}{1-\sin\,a}

Soit b=h(a)

  (h^{-1})'(b)=\dfrac{1}{h'[h^{-1}(b)]}=\dfrac{1}{h'(a)}=1-\sin\,a

  Avec b=h(a)=\dfrac{1+\sin\,a}{\cos\,a} et \cos^2a+\sin^2a=1, tu peux prouver que :

   \sin\,a=\dfrac{b^2-1}{b^2+1}

Posté par
Zzzeldaaaare : Derivée de la fonction reciproque 11-12-21 à 21:58

Bonsoir lake,
ton idee est interessante( le résultat découle immediatement )
Merci

Posté par
lakere : Derivée de la fonction reciproque 12-12-21 à 11:24

De rien pour moi Zzzeldaaaa

Si tu repasses par ici, (en admettant que tu aies vu le cours sur les intégrales et la fonction arctangente), ton exercice permet, à peu de frais, d'établir la formule :

   h^{-1}(x)=2\arctan\,x-\dfrac{\pi}{2} sur [1,+\infty[

L'obtenir directement est disons plus délicat.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !