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Dérivée du déterminant d'une matrice
Bonsoir tout le monde : Si j'ai une matrice dont les colonnes (C1(x),C2(x),...,Cn(x)) sont constituées sur chacune de leurs lignes de fonctions toutes dérivables, je note D(x) son déterminant. Comment montrer que D'(x) = det(C'1(x),C2(x),...,Cn(x)) + det(C1(x),C'2(x),...,Cn(x))+ ... + det(C1(x),C2(x),...,C'n(x)).
Merci d'avance. HW
Bonsoir hatimy
Je pense que le plus simple est de faire un DL à l'ordre 1 de D(x) (calcule D(x+h)).
Kaiser
Remarque : plus généralement, ce résultat est vrai dès que l'on a une application n-linéaire.
intéressant ce résultat !
En fait, si je fais pour tout i appartenant [1;n] Ci(x+h) = Ci(x) + h*Ci'(x) + o(h), j'utilise la "n-linéarité" (je ne sais pas si ça se dit) du déterminant puis je fais tendre h vers 0 ?
Est ce que tu pourrais me le rédiger sommairement STP ?
pour un déterminant d'une matrice 2x2, ça se démontre en dérivant directement ce déterminant, puis on regroupe les morceaux, mais cet outil ne marche pas quand on se prolonge aux matrices de taille n.
On ne fait pas tendre h vers 0.
En gros, on essaie d'aboutir à une égalité du type : D(x+h)=D(x)+hf(x)+o(h)
On aura alors f(x)=D'(x).
Sinon, oui, il faut bien utiliser la n-linéarité !
En fait, on va avoir :
Ensuite, on développe le tout mais on ne garde que les termes en h.
(pour développer, fais comme si tu avais un vrai produit)
Kaiser
ça marche, autrement dit c'est comme si j'allais procéder par identification. Merci pour ton aide Kaiser 
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