Bonjour, j'ai un exercice à faire pendant ces vacances. Mais je ne suis pas sûr de mes réponses. Pourriez vous me dire ce que vous en pensez? Merci d'avance! (ca parait long mais ca ne l'est pas tant que ca )


ENONCE
On considere la fonction numerique f de la variable reelle x definie sur [-1 ; +[ par:
f(x) = ( (x+1) )  .e^(-x)
On designe par (C) la courbe representative de f dans le plan rapporte a un repere orthonormal.


QUESTIONS
1/ a. Etudier la continuite et la derivabilite de f sur son ensemble de definition [-1 ; +[.

1/ b. Montrer que (C) admet une droite asymptote.



REPONSES
1/ a.
continuite: la fonction u = (x+1) est continue sur donc sur [-1 ; +[ . La fonction racine est continue sur [0 ; +[. La fonction u appartient à l'intervalle [0 ; +[ alors on en en deduit que la fonction u soit (x+1) est continue sur [-1 ; +[.
De plus la fonction exponentielle est continue sur donc sur [-1 ; +[. Le produit ( (x+1) )  .e^(-x) est donc continue sur [-1 ; +[.
La fonction f est donc continue sur l'intervalle [-1 ; +[.


derivabilite: la fonction u = (x+1) est derivable sur donc sur [-1 ; +[ . La fonction racine est derivable sur ]0 ; +[. La fonction u appartient à l'intervalle ]0 ; +[ alors on en en deduit que la fonction u soit (x+1) est continue sur ]-1 ; +[.
De plus la fonction exponentielle est deribale sur donc sur [-1 ; +[. Le produit ( (x+1) )  .e^(-x) est donc derivable sur ]-1 ; +[.
La fonction f est donc derivable sur l'intervalle ]-1 ; +[.

Mais l'intervalle est le suivant ]-1 ; +[.
Etude de la borne restante, de la derivabilite en (-1):

lim (h->0) {[ f(-1+h) - f(-1) ] / h } et ca me donne 0/0 (? pas sur de moi) donc ce n'est pas une limite finie alors f n'est pas dérivable en (-1)


1/ b.
On me demande de "montrer". Je calcule la limite en + de la fonction f. Je trouve qu'elle tend vers 0 en + donc elle admet une asymptote horizontale d'équation y=0.