Bonsoir, en classe de terminale je souhaiterai obtenir de l'aide ou au moins un éclairement sur un dm que l'on m'a donné.
Sujet: Soit f une fonction définie sur R par: f(x)=e^kx avec k un réel non nul.
1) Calculer f'(x) puis f''(x).
2) Conjecturer l'expression de f⁽ⁿ⁾(x) , dérivé n-ième de f.
Indication: f⁽ⁿ⁾ = ( f⁽ⁿ -1⁾ )' .
3) Démontrer cette conjecture par récurrence.
Pour le moment j'ai déjà
1) f(x)=e^kx f'(x)= k × 1 × e^kx et f''(x)= 0 × e^kx + k × e^kx
2)f⁽ⁿ⁾(x) = f' (x). mais je suis pas sure que ce soit bon du coup, je bloque pour la question 2 et la question 3
Sachant que f'(x)= k × 1 × e^kx soit f'(x)= k × e^kx on a f''(x)= (uv)'= u'v+ uv'
soit, f''(x)= 0 × e^kx + k × e^kx
= k × e^kx
non?
Bonsoir,
@m3lissa,
La lettre k semble te perturber.
Commence peut-être par calculer les dérivées successives de g avec g(x) = e3x.
N'oublie pas que la dérivée du produit au
où
a
est un réel est
au' .
Pour les exposants, il y a le bouton X2
sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.
Bonjour à tous et merci de bien vouloir m'aider. En effet je me suis trompée pour le 1) et le 2).
j'ai d'abord essayé avec g(x)=e3x
Ainsi, g'(x)= 3 × e3x et g''(x)= 9 × e3x
Dans ce cas là, 1) f(x)= ekx avec f'(x)=k×ekx et f''(x)=k2×ekx (ou encore k2.f(x) @flight)
Pour le 2) on peut dire que f(n)(x)= kn×ekx
Et bien voila
Souviens-toi que quand tu te mélanges les pédales avec un paramètre, tu peux commencer par traiter (au brouillon) un exemple pour clarifier.
Tu peux aborder 3).
En effet, j'y songerai dorénavant! Maintenant pour la démonstration par récurrence de 3) je l'ai fait ainsi:
Posons la propriété Pn" f(n)(x)= kn×ekx " pur tout n ∈ N privé de 0.
Initialisation: Soit n=1, f(1)(x)= k1×ekx = k×ekx= f'
Pn est vraie pour n=1.
Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie pour un entier n. Montrons alors qu'elle est vraie pour un entier n+1, c'est-à-dire : f(n+1)= kn+1× ekx
D'après l'hypothèse de récurrence,
f(n)(x)= kn×ekx
f(n)(x)'= 0×ekx+kn×k×ekx= kn+1×ekx= f(n+1)(x).
Conclusion: Pn est vraie pour n=1 et est héréditaire. Donc f(n)(x)= kn×ekx
C'est pas mal.
Je rectifie un peu :
Pour n ∈ N privé de 0, posons la propriété Pn : " pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx "
Initialisation :
D'une part pour tout x réel f(1)(x) = f '(x) = kekx
D'autre part pour tout x réel k1×ekx = kekx
Donc pour tout x réel f(1)(x) = k1×ekx
C'est à dire P1 est vraie.
Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie pour un entier n. Montrons alors qu'elle est vraie pour un entier n+1, c'est-à-dire :
pour tout x réel f(n+1)(x) = kn+1× ekx
D'après l'hypothèse de récurrence,
pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx
D'où pour tout x réel f(n+1)(x) = (f(n))'(x) = kn×(k×ekx)= kn+1×ekx .
Conclusion: Pn est vraie pour n=1 et est héréditaire.
Donc pour tout n de N non nul et pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx
Remarque : pour dériver le produit kn
v , n'utilise pas la formule de (uv)' mais la formule (av)' = a
v'
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