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Niveau terminale
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dérivée n-ième et récurrence

Posté par
m3lissa
19-10-20 à 22:09

Bonsoir, en classe de terminale je souhaiterai obtenir de l'aide ou au moins un éclairement sur un dm que l'on m'a donné.
Sujet:  Soit f une fonction définie sur R par: f(x)=e^kx              avec k un réel non nul.
1) Calculer f'(x) puis f''(x).
2) Conjecturer l'expression de f⁽ⁿ⁾(x) , dérivé n-ième de f.    
Indication: f⁽ⁿ⁾ = ( f⁽ⁿ -1⁾ )' .
3) Démontrer cette conjecture par récurrence.


Pour le moment j'ai déjà
1) f(x)=e^kx          f'(x)= k × 1 × e^kx      et f''(x)= 0 × e^kx + k × e^kx
2)f⁽ⁿ⁾(x) = f' (x). mais je suis pas sure que ce soit bon du coup, je bloque pour la question 2 et la question 3

Posté par
flight
re : dérivée n-ième et récurrence 19-10-20 à 22:15

salut

pour moi f"(x)=k².f(x)

Posté par
m3lissa
re : dérivée n-ième et récurrence 19-10-20 à 22:30

Sachant que f'(x)= k × 1 × e^kx soit f'(x)= k × e^kx  on a f''(x)= (uv)'= u'v+ uv'
                                                                                                                 soit, f''(x)= 0 × e^kx + k × e^kx
                                                                                                                                     = k × e^kx
non?

Posté par
naghmouch
re : dérivée n-ième et récurrence 20-10-20 à 08:30

Bonjour
soit, f''(x)= 0 × e^kx + k × ( e^kx)'

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée n-ième et récurrence 20-10-20 à 20:51

Bonsoir,
@m3lissa,
La lettre k semble te perturber.
Commence peut-être par calculer les dérivées successives de g avec g(x) = e3x.
N'oublie pas que la dérivée du produit \; au \;\; a \; est un réel est \; au' .

Pour les exposants, il y a le bouton \; X2 \; sous le rectangle zone de saisie.
Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Posté par
m3lissa
re : dérivée n-ième et récurrence 20-10-20 à 22:12

Bonjour à tous et merci de bien vouloir m'aider. En effet je me suis trompée pour le 1) et le 2).

j'ai d'abord essayé avec g(x)=e3x        
Ainsi,   g'(x)= 3 ×  e3x   et      g''(x)= 9 ×  e3x

Dans ce cas là, 1) f(x)= ekx avec f'(x)=k×ekx  et f''(x)=k2×ekx     (ou encore k2.f(x) @flight)


Pour le 2) on peut dire que f(n)(x)= kn×ekx

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée n-ième et récurrence 21-10-20 à 09:03

Et bien voila
Souviens-toi que quand tu te mélanges les pédales avec un paramètre, tu peux commencer par traiter (au brouillon) un exemple pour clarifier.
Tu peux aborder 3).

Posté par
m3lissa
re : dérivée n-ième et récurrence 21-10-20 à 17:18

En effet, j'y songerai dorénavant! Maintenant pour la démonstration par récurrence de 3) je l'ai fait ainsi:

Posons la propriété Pn" f(n)(x)= kn×ekx " pur tout n ∈ N privé de 0.
Initialisation: Soit n=1,  f(1)(x)= k1×ekx = k×ekx= f'
                                                                                        Pn est vraie pour n=1.

Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie pour un entier n. Montrons alors qu'elle est vraie pour un entier n+1, c'est-à-dire : f(n+1)= kn+1× ekx

D'après l'hypothèse de récurrence,
                                                       f(n)(x)= kn×ekx
                                        f(n)(x)'= 0×ekx+kn×k×ekx= kn+1×ekx= f(n+1)(x).

Conclusion: Pn est vraie pour n=1 et est héréditaire. Donc f(n)(x)= kn×ekx

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : dérivée n-ième et récurrence 21-10-20 à 18:07

C'est pas mal.
Je rectifie un peu :
Pour n ∈ N privé de 0, posons la propriété Pn : " pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx "

Initialisation :
D'une part pour tout x réel f(1)(x) = f '(x) = kekx
D'autre part pour tout x réel k1×ekx = kekx
Donc pour tout x réel f(1)(x) = k1×ekx
C'est à dire P1 est vraie.

Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie pour un entier n. Montrons alors qu'elle est vraie pour un entier n+1, c'est-à-dire :
pour tout x réel f(n+1)(x) = kn+1× ekx

D'après l'hypothèse de récurrence,
pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx
D'où pour tout x réel f(n+1)(x) = (f(n))'(x) = kn×(k×ekx)= kn+1×ekx .

Conclusion: Pn est vraie pour n=1 et est héréditaire.
Donc pour tout n de N non nul et pour tout x réel f(n)(x)= kn×ekx

Remarque : pour dériver le produit \; knv , n'utilise pas la formule de (uv)' mais la formule (av)' = av'

Posté par
m3lissa
re : dérivée n-ième et récurrence 21-10-20 à 18:47

D'accord, merciiiii infiniment pour l'aide et les rectifications apportées  !!



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