Bonjour,
As-tu une formule dans ton cours pour la dérivée d'une fonction réciproque ?

bonjour

corriger la conclusion du 1...

f est une bijection de ]-/2 : /2 [ sur ] - ; + [

sa bijection réciproque va de ] - ; + [ sur  ]-/2 : /2 [

pour la 2 tu écris que pour tout x réel

f(g(x)) = x

et tu dérives

(bonjour Sylvieg )... posts croisés

Ok correction de la conclusion du 1) :

f : ]-π/2 ;π/2[ ---> ]-∞ ; +∞[

                      x tan x

Et g : ]-∞ ;+∞[ ---> ]-π/2 ; π/2[
  
                       x tan^-1 x

2) Sylvieg pas vraiment.. J'ai plutôt la formule de la dérivée de fonction réciproque en un nombre x₀ de IR.

Tu peux utiliser cette formule. Il suffira de remplacer x₀ par x à la fin.

f est strictement strictement croissante sur ]-π/2 ; π/2[.

Soit x'₀ ∈ ]-π/2 ; π/2[ et x₀ ∈ ]-∞ ; +∞[ tel que f(x'₀) = x₀ ≠ 0.

La bijection réciproque g de f est dérivable en x₀ tel que :

Traduis f(x'₀) = x₀ avec f = tan.

C'est à dire tan x'₀= x₀

Continue : remplace dans ce que tu as trouvé pour g'(x₀)

g'(x0)= g'(tan x'₀)

= f^-1'[f(x'₀)]

Tu as trouvé et tan x'₀= x₀ .

Tu peux en déduire ce qui est demandé dans 2).

Je ne comprends pas bien

Je mets les points sur les i :
Remplacer tan x'₀ par x₀ dans .

je me permets juste une petite remarque qui l'aidera peut-être

tu as obtenu, pour x réel : f'(g(x)) g'(x) = 1 (*)

tu remarqueras que la dérivée de tangente te donne

f'(u) = 1 + tan²(u) = 1 + (f(u))²

donc

f'(g(x)) = 1 + (f(g(x))² = 1 + x²

tu remplaces dans (*) et tu obtiens g'(x) ...

f'(g(x)) = 1 + (f(g(x))² =1+tan²(tan^-1(x))=1+f[g(x)]²= 1 + x²

Je ne comprends pas pourquoi f[f^-1(x)]= x

c'est comme qui dirait un peu le concept de "application réciproque"

Merci et bonne soirée

pas de quoi et bonne soirée