Niveau terminale

Dérivées nième par récurrence Exp(x^2)

Posté par
nadlax54 08-12-10 à 22:26

Bonjour,

je dois traiter l'exercie suivant:

f(x) = exp(x^2)
1) Calculer f', f'' et f'''
2) Montrer que f(n) (x) = Pn (x) *exp(x^2) avec Pn polynome de degré n (sans chercher de formule générale de Pn)
3) Vérifier pour n=1 et n=2 que Pn''(x)+2x*Pn'-2 Px=0
Faire une démonstration par récurrence.

1) f'= exp(x^2)*(2*x)
f''= exp(x^2)*(2+4*x^2)
f'''= exp(x^2)*(8*x^3+12*x)

2) P1 = 2*x*(exp(x^2)
P2= (2+4*x^2)exp(x^2)

Pour n>1, fn(x)= Pn(x)*exp(x^2) ==> f(n+1)= Pn'*exp(x^2)+ 2*x*exp(x^2)*Pn(x)= exp(x^2)*(2*x*P(x)+P'(x))
donc polynome de degré (n+1)

3) Propriété vraie pour n=1 et n=2.

J'essaie de montrer que P_(n+1) ^"(x)=2*x*P_(n+1)^'-2*n*P_(n+1) =0 mais je bloque...

Est-ce le bon raisonnement?

Merci de votre aide

Posté par re : Dérivées nième par récurrence Exp(x^2) 09-12-10 à 05:48

Bonjour,

1)
$3$f(x) = e^{x^2}$

$3$f'(x) = 2x\,e^{x^2}$

$3$f''(x) = (4x^2+2)\,e^{x^2}$

$3$f^{(3)}(x) = (8x^3+12x)\,e^{x^2}$

2) OK

3) "Vérifier pour n=1 et n=2 que Pn''(x)+2x*Pn'-2 Px=0"

Cette formule est fausse.

Posté par Dérivées nième par récurrence Exp(x^2) 09-12-10 à 08:41

Bonjour, merci de ton retour,
ce n'est pas Pn''(x)+2x*Pn'-2 Px=0 mais Pn''(x)+2x*Pn'-2 n*Px=0 qu'il faut démontrer par récurrence.

Ca marche pour n=1 : f1 =2x.e ^{x^2} d'où P₁ =2x, P₁'=2, P₁"=0
Alors 0*2+2x*2-2*1*2x=0

Idem pour n=2...

Merci d'avoir regardé.

Posté par re : Dérivées nième par récurrence Exp(x^2) 09-12-10 à 10:56

Notre hypothèse de récurrence est donc :
$3$P^{''}_n(x)+2xP^{'}_n(x)-2nP_n(x)=0$

C'est-à-dire : $3$\fbox{ P^{''}_n(x) = -2xP^{'}_n(x) + 2nP_n(x) }$ (HR)

Par définition : $3$f^{(n)}(x) = P_n(x)\,e^{x^2}$

On dérive :
$3$f^{(n+1)}(x) = \left\{ \left( P^'_n(x)+2xP_n(x) \right)\,e^{x^2}\\ \\ P_{n+1}(x)\,e^{x^2} \right.$

Donc $3$\fbox{ P_{n+1}(x) = P^'_n(x)+2xP_n(x) }$ (1)

Donc $3$\fbox{ P^'_n(x) = P_{n+1}(x)-2xP_n(x) }$ (2)

On dérive (1) membre à membre :

$3$P^'_{n+1}(x) = P^{''}_n(x) + 2xP^'_n(x) + 2P_n(x)$

On utilise l'hypothèse de récurrence (HR) :

$3$P^'_{n+1}(x) = -2xP^{'}_n(x) + 2nP_n(x) + 2xP^'_n(x) + 2P_n(x)$

$3$\fbox{ P^'_{n+1}(x) = (2n+2)P_n(x) }$ (3)

On dérive membre à membre :

$3$P^{''}_{n+1}(x) = (2n+2)P^'_n(x)$

On utilise (2) :

$3$\fbox{ P^{''}_{n+1}(x) = (2n+2)\left( P_{n+1}(x)-2xP_n(x) \right) }$ (4)

Maintenant, en combinant (3) et (4) :

$3$P^{''}_{n+1}(x) + 2xP^{'}_{n+1}(x) - 2(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+2)\left( P_{n+1}(x)-2xP_n(x) \right) + 2x(2n+2)P_n(x) - 2(n+1)P_{n+1}(x)$

On développe le membre de droite :

$3$P^{''}_{n+1}(x) + 2xP^{'}_{n+1}(x) - 2(n+1)P_{n+1}(x) = 0$

Ceci termine la partie "hérédité" de la récurrence.

Il y a peut-être plus simple.

Sauf erreur !

Nicolas

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