bonsoir,

f'(0)=e^a-e^b-(a-b)e^b=e^b*[e^(a-b)-1-(a-b)]

en posant x=a-b dans l inegalite rappelee, on obtient e^(a-b)>1-(a-b)
Or e^b>0

donc f'(0)>0

f'(1)=e^(a)-e^(b)-(a-b)e^a=-e^(a)*[-1+e^(b-a)-(b-a)]

en posant x=b-a dans l inegalite rappelee, on obtient e^(b-a)>1-(b-a)
or -e^(a)<0 donc f'(1)<0

merci beaucoup, en effet c'est plus facille comme ca
j'ai une question subsidiaire:

Soient p et q deux réels sstrictement positifs tels que
Démontrer que pour tous réels et ,

Je ne pense pas qu'il faille utiliser l'exercice précédant, mais on ne sais jamais.... Avis aux amateurs

vive les questions bonus,

Il faut utiliser la question precedente

je pose alpa=A et betha=B c est trop dur a faire

je pose aussi
a=A*p
b=B*q et t=1/p

alors 1/q>0 =>1/p+1/q>1/p et donc 1>1/p et donc t€[0,1]

a et b sont deux reels non necessairement distinct, mais on remarque que dans l inegalite trouve avant (ta question precedente) est vrai si a=b

je te laisse montrer que :
e^(ta+(1-t)b)<=te^(a)+(1-t)e^b
en remplacant on a

e^(1/p*Ap+(1-1/p)*Bq)<=1/p*e^(Ap)+(1-1/p)e^(Bq)
or 1-1/p=1/q donc:
e^(A+B)<=1/p*e^(Ap)+1/q*e^(Bq)

ce qui reviens a
e^(A)*e^(B)<=1/p*e^(Ap)+1/q*e^(Bq)   on rappelle que A= alpha et B= betha