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Niveau Maths sup
déterminant
Posté par romu
Bonsoir,
j'ai un souci avec la preuve de cette proposition.
En premier lieu:
Citation :
)
est la matrice 
obtenue à partir de 
de la façon suivante. Les coefficients de qui ne se trouvent pas sur la 
-ème ligne ni sur la 
-ème colonne coïncident avec ceux de . Les coefficients de qui se trouventsur la -ème ligne ou sur la -ème colonne sont tous nuls sauf le coefficient _{ij})
qui vaut 1.
Autrement dit
_{kl} = M_{kl},\ T(i,j)_{kj} = 0,\ T(i,j)_{il} = 0)
si 
et 
.
Et_{ij} = 1)
.
Autrement dit
Et
Citation :
Proposition: Soit)
et )
sa co-matrice (
est un anneau commutatif unitaire). On a
M = M^t co(M) = \det(M)I_n)
preuve: On peut remarquer en développant par rapport aux lignes et aux colonnes que les coefficients diagonauxM)_{jj})
sont tous égaux à )
.
Pour
, on remarque que
![3$(^t co(M)M)_{ij} = \Bigsum_{k=1}^n M_{kj} co(M)_{ki} = \Bigsum_{k=1}^n M_{kj} \det(T(k,i)) = \det([C_1,...,C_j,...,C_j,...C_n]) = 0](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$(^t co(M)M)_{ij} = \Bigsum_{k=1}^n M_{kj} co(M)_{ki} = \Bigsum_{k=1}^n M_{kj} \det(T(k,i)) = \det([C_1,...,C_j,...,C_j,...C_n]) = 0)
.
On a montré que M = \det(M)I_n)
. La relation  = \det(M)I_n)
s'obtient de la même façon, en travaillant sur les lignes au lieu des colonnes.
Proposition: Soit
preuve: On peut remarquer en développant par rapport aux lignes et aux colonnes que les coefficients diagonaux
Pour
On a montré que
Voilà, je ne vois pas comment on montre que
Merci pour votre aide
Bonsoir
Considère la matrice M' obtenue à partir de M en remplaçant la ième colonne de M par la jème colonne de M.
Si les colonnes de M sont :
C1,..., Ci, ...,Cj,..., Cn
celles de M' sont :
C1,..., Cj, ...,Cj,..., Cn
En développant le déterminant de M' suivant la ième colonne on trouve 0 (puisque M' a deux colonnes égales),
et on trouve aussi
Mkjdet(Tki)
D'où le résultat.
Cordialement
Frenicle
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