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determinant

Posté par
alexandru311 24-06-11 à 20:38

bonsoir
j'ai quelques determinants a calculé vous pouvez me dire svp si mes redultats sont bon merci d'avance
voila le premiers

4  3  2  1
3  3  2  1
2  2  2  1
1  1  1  1
alors pour calculer ce determinant j'ai decomposer pour arriver a une matrice 3x3 qui est :
   3  2  1         3  2  1       3  3  1         3  3  2
4 2  2  1      -3 2  2  1   +2 2  2  1     -1 2  2  2
   1  1  1         1  1  1       1  1  1         1  1  1

et la c'est beaucoup plus simple ;
4[3(2-1) -2(2-1) +(2-2)] = 4
c'est exactement le meme calcule pour la matrice 2 donc c'est egale: "-3"
2[3(2-1) -3(2-1) +1(2-2)] =0
meme resultat avec la derniere matrice
donc au finale j'obtient un determinant de 1
j'espere que j'ai pas fait des erreur de calcule

Posté par
Surbre : determinant 24-06-11 à 21:07

Bonjour,
c'est tout bon, apparemment t'as tout compris .

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 21:12

Oui, c'est juste mais tu aurais pu t'éviter des calculs fastidieux en procédant ainsi :
\left|\begin{array}{cccc} \\ 4 & 3 & 2 & 1\\ \\ 3 & 3 & 2 & 1\\ \\ 2 & 2 & 2 & 1\\ \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} \\ 3 & 2 & 1 & 0\\ \\ 2 & 2 & 1 & 0\\ \\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{c} \\ L_{1}-L_{4}\\ \\ L_{2}-L_{4}\\ \\ L_{3}-L_{4}\\ \\ L_{4}\end{array}=\left|\begin{array}{ccc} \\ 3 & 2 & 1\\ \\ 2 & 2 & 1\\ \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \\ 2 & 1 & 0\\ \\ 1 & 1 & 0\\ \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{c} \\ L_{1}-L_{3}\\ \\ L_{2}-L_{3}\\ \\ L_{3}\end{array}=\left|\begin{array}{cc} \\ 2 & 1\\ \\ 1 & 1\end{array}\right|=2-1=1

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 21:34

finallement je vous envoie la suite de l'exo
voila la deuxieme matrice

1  0  0  0  0
0  0  0  1  0
0  0  1  0  0
0  0  0  0  1
0  1  0  0  0

Ce déterminant est celui d'une matrice triangulaire par blocs
D=      1  0  * 1  0  * 0
          0  0    0  0

donc D=0  

voila la 3eme partie de l'exo
        cosx -sinx  0
M(x)= sinx  cosx  0
            0     0    1
on me demande de calculer M(0) et j'obtient
        1  0  0
M(0)=0  1  0
        0  0  1
mais je sais pas si je dois calculer le determinant ou pas en tous cas je le calcule et je trouve 1
ensuite on me demande de determiner z tel que  M(y)* M(x)= M(z) la j'en ai aucune idée ???
ensuite on me demande de demontrer que la matrice M(x) est inversible et de calculer son inverse
or le determinant est égale a 1 donc la matrice est inversible et pour calculer la matrice inverce j'utilise la methode de ce site http://www.matheureka.net/Q119.htm
et je trouve
        cosx  sinx  0
G(x)=-sinx  cosx  0
             0    0    1

voila merci beaucoup

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 21:37

merci beaucoup à vous deux
c'est vraiment interessant ta facon de faire jacques1313 donc on peut simplifier a chaque fois la matrice pour arriver a une autre matrice plus simple c'est tres interessant

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 21:39

Attention :
\left|\begin{array}{ccccc} \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \\ 0 & 1 & 0\\ \\ 1 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} \\ 0 & 1\\ \\ 1 & 0\end{array}\right|=-1

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 21:42

Alors oui, petite explication : on ne change pas de déterminant en ajoutant (ou en soustrayant...) à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, ou en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 21:44

ilya un truc que je comprend pas dans ta methode pourquoi des fois certaines ligne disparaissent sans les avoir soustrait a aucune autre ligne ??

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 21:52

Je sais pas si j'ai bien compris ta question mais j'espère y répondre ici, sinon tu me diras si tu parles d'autre chose.

\left|\begin{array}{ccc} \\ 1 & 0 & 0\\ \\ a & b & c\\ \\ e & f & g\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} \\ b & c\\ \\ f & g\end{array}\right|   car   \left|\begin{array}{ccc} \\ 1 & 0 & 0\\ \\ a & b & c\\ \\ e & f & g\end{array}\right|=1\times\left|\begin{array}{cc} \\ b & c\\ \\ f & g\end{array}\right|-0\times\left|\begin{array}{cc} \\ a & c\\ \\ e & g\end{array}\right|+0\times\left|\begin{array}{cc} \\ a & b\\ \\ e & f\end{array}\right|

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 21:58

c'est parfait j'ai enfin compris ta methode
reprend moi si je me trompe mais on simplifie en ajoutant (ou en soustrayant...) à une ligne une combinaison linéaire des autres lignes, ou en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes ensuite si je me trouve avec une colone ou ligne ou il reste plus que des 0 on la supprime (logique) et si il reste que des 1 ou des 1 et des 0 on factorise par cette ligne ou colonne qui, du coup disparaitra
c'est magique j'adore cette methode

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 22:18

Là encore je suis pas sûr d'avoir compris ce que tu voulais dire à propos de factoriser une ligne. Mais je vais résumer les choses.
Premièrement, si on n'a que des 0 sur une ligne ou une colonne, alors le déterminant vaut 0.
Sinon, on a la chose suivante :
\left|\begin{array}{ccc} \\ M_{1} & \begin{array}{c} \\ a_{1j}\\ \\ \vdots\\ \\ a_{i-1,j}\end{array} & M_{2}\\ \\ \begin{array}{ccc} \\ 0 & \cdots & 0\end{array} & a_{ij} & \begin{array}{ccc} \\ 0 & \cdots & 0\end{array}\\ \\ M_{3} & \begin{array}{c} \\ a_{i+1,j}\\ \\ \vdots\\ \\ a_{n,j}\end{array} & M_{4}\end{array}\right|=\left(-1\right)^{i+j}a_{ij}\left|\begin{array}{cc} \\ M_{1} & M_{2}\\ \\ M_{3} & M_{4}\end{array}\right|

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 22:39

ok la c'est ok merci bcp mais pour la suite de l'exo c'est bon

Posté par
jacques1313 24-06-11 à 22:45

Pour la suite c'est du calcul et un peu de trigonométrie...
\left(\begin{array}{ccc} \\ \cos x & -\sin x & 0\\ \\ \sin x & \cos x & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{ccc} \\ \cos y & -\sin y & 0\\ \\ \sin y & \cos y & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} \\ \cos x\cos y-\sin x\sin y & -\left(\cos x\sin y+\sin x\cos y\right) & 0\\ \\ \cos x\sin y+\sin x\cos y & \cos x\cos y-\sin x\sin y & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc} \\ \cos\left(x+y\right) & -\sin\left(x+y\right) & 0\\ \\ \sin\left(x+y\right) & \cos\left(x+y\right) & 0\\ \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 23:04

c ok et ma matrice inverse c'est ok?

Posté par
jacques1313re : determinant 24-06-11 à 23:08

Oui, la matrice inverse est ok. Il suffisait pour le vérifier de multiplier les deux matrices et de constater qu'elles donnaient la matrice identité...

Posté par
alexandru311re : determinant 24-06-11 à 23:41

ok merci beaucoup


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