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Déterminant

Posté par
Xenthys 21-08-11 à 23:41

Bonsoir à tous,

J'ai un exercice assez classique sur les déterminants que j'ai fait mais dont je n'ai plus la correction et je bloque dès ... la première question.

On a A(x)=$\left[\begin{array}{cccc} \\ r_1+x & a+x & ... & a+x   \\ \\ b+x & r_2+x & ... & ...   \\ \\ ... & ... & ...& ...   \\b+x & ... & b+x & r_n+x \\ \end{array}\right]$.

et Det(A(x))=D(x).1. Montrer qu'il existe \alpha et \beta tels que D(x)=\alpha x + \beta.

J'ai eu la stupide idée de faire un travail sur les lignes: L_i<-L_i-L_{i-1}  et  L1<-L1-L_n mais tous les x ont disparu, ce qui fut une mauvaise idée. Ensuite, j'ai fait la même chose en ne touchant pas à la première ligne et j'ai obtenu:

$\left[\begin{array}{cccc} \\ r_1+x & a+x & ... & a+x   \\ \\ b-r_1 & r_2-a & 0 & ...   \\ \\ 0 & b-r_2& r_3-a & ...   \\0 & ... & b-r_{n-1} & r_n-a \\ \end{array}\right]$.

J'ai développé suivant la première colonne mais j'ai obtenu:

(r_1+x) $\left[\begin{array}{cccc} \\ r_2-a & a+x & ... & a+x   \\ \\ b-r_2 & r_3-a & 0 & ...   \\ \\ 0 & b-r_2& r_4-a & ...   \\0 & ... & b-r_{n-1} & r_n-a \\ \end{array}\right]$.
-(b-r_1)$\left[\begin{array}{cccc} \\ a+x & a+x & ... & a+x   \\ \\ b-r_2 & r_3-a & 0 & ...   \\ \\ 0 & b-r_3& r_4-a & ...   \\0 & ... & b-r_{n-1} & r_n-a \\ \end{array}\right]$
et j'ai encore des x partout. Toute suggestion est bienvenue, d'autant plus que j'ai encore une page devant moi et que je sèche déjà ...

Merci d'avance

Posté par
gui_toure : Déterminant 21-08-11 à 23:45

Salut Xenthys,

Fais la transformation Li --> Li - L1 pour i entre 2 et n.

Développe ensuite selon la première colonne. Tu additionnes alors n termes qui sont le produit d'un terme en x (celui de la première colonne) et d'un terme sans x. Donc on a bien D qui est affine.

Posté par
gui_toure : Déterminant 21-08-11 à 23:47

Pour avoir la valeur de \alpha et \beta, calcule D(-a) et D(-b).

Posté par
gui_toure : Déterminant 22-08-11 à 00:05

Oups, je voulais dire Ci ----> Ci - C1 (les colonnes)


Tu y étais presque :

Citation :
Ensuite, j'ai fait la même chose en ne touchant pas à la première ligne et j'ai obtenu:


Il suffisait de développer ensuite selon la première ligne et non selon la première colonne.

Posté par
Xenthysre : Déterminant 22-08-11 à 00:08

Merci pour ta rapidité! Je vais voir tout ça


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