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Determinant d'Endomorphisme de M3(R)

Posté par
Crosius 30-08-11 à 00:23

Bonjour,

J'ai un problème avec un exercice concernant les déterminants, et particulièrement le déterminant d'un endomorphisme de Mn(R):

Soit A M3() , A = diag (1,2,1)
uL(M3()): M M3() u(M) = AM + MA. Calculer det u

J'ai donc fait le calcul avec une matrice quelconque en lui attribuant des lettres à chaque coeffs et j'ai obtenu ceci:
\large AM + MA\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&2a &3d &2g\\2&3b &4e &3h\\ 3&2c &3f &2i \end{array} \right)  

La matrice est donc symétrique. Je pensais rapporter la matrice de u à une base simple comme en utilisant le fait que Sn et An sont supplémentaires dans Mn mais je ne vois pas comment faire pour cette matrice et surtout je ne sais pas si cela est bon ou non, en gros je suis vraiment perdu .

Je tiens à préciser que je n'ai jamais vu la réduction d'endomorphisme et que cette exercice peut apparemment se traiter sans.
Merci d'avance ^^

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 01:19

Bonsoir,

Citation :
Je pensais rapporter la matrice de u à une base simple comme en utilisant le fait que Sn et An sont supplémentaires dans Mn

Plus simple encore ! Considère la base canonique (E_{ij})_{i,j\in \{1,2,3\}} de \mathcal{M}_3(\R).
Avec le calcul que tu as déjà fait, tout s'en déduit immédiatement : l'endomorphisme u dans cette base est l'application (a,b,c,d,e,f,g,h,i)\mapsto (2a,3d,2g,3b,4e,3h,2c,3f,2i).

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 10:54

Merci pour l'aide!

J'ai donc trouvé un déterminant de taille 9*9 mais qui est diagonale, en la notant U, on a:
U = diag(2,3,2,3,4,3,2,3,2) et donc detU = 5184

Es ce que c'est bon?
Merci d'avance.

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 10:57

Non, encore une fois tu es allé trop vite, comme pour ton affirmation "La matrice est donc symétrique."
C'est faux.

Écrits correctement la matrice de l'application linéaire :  (a,b,c,d,e,f,g,h,i)\mapsto%20(2a,3d,2g,3b,4e,3h,2c,3f,2i).
Ca donne quoi ?

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 11:20

Excuse moi Narhm mais en fait je ne vois pas comment écrire autrement la matrice de l'application linéaire...

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 11:31

Si U est la matrice de cette application linéaire, alors que représente ses colonnes ?

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 11:36

Se sont les images des vecteurs de la base de M3(), mais ces vecteurs n'ont qu'une coordonnée non nul et cela devrait donc former une diagonale?

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 11:37

Citation :
cela devrait donc former une diagonale?

Pourquoi ne pas le vérifier ?
Par exemple, quelle est la 8-ieme colonne de notre matrice ?

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 12:14

Juste je viens de réaliser quelque chose et je viens de comprendre pourquoi tu me disais que la matrice n'est pas diagonale et que je ne comprenais pas pourquoi, tu as écris:   (a,b,c,d,e,f,g,h,i)\mapsto%20(2a,3d,2g,3b,4e,3h,2c,3f,2i)

Mais l'endomorphisme garde "l'ordre" de a, b ,c ... h, i dans les matrices.

\large A\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&1 &0 &0\\2&0 &2 &0\\ 3&0 &0 &1 \end{array} \right) \\ \large AM\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&a &d &g\\2&2b &2e &2h\\ 3&c &f &i \end{array} \right) \\ \large MA\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&a &2d &g\\2&b &2e &h\\ 3&c &2f &i \end{array} \right)   \\ \large AM + MA\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&2a &3d &2g\\2&3b &4e &3h\\ 3&2c &3f &2i \end{array} \right)  

Donc l'application ne serait elle pas?
(a,b,c,d,e,f,g,h,i)\mapsto%20(2a,3b,2c,3d,4e,3f,2g,3h,2i)
Car sinon je ne comprends pas désole Narhm.

Mes coeffs pour les matrices sont pas très logiques désole mais c'est une erreur de Latex ^^'.

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 12:16

Car j'avais pris \large M\ =\ \left( \begin{array}{c|ccc} & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&a &d &g\\2&b &e &h\\ 3&c &f &i \end{array} \right)  

Mille excuses pour le double post.

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 12:27

Ok, je vois.
Revenons alors au commencement : je considère la base Eij de M3(R).
Avec ton calcul, tu vois que u(E_{11})=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=2E_{11}, u(E_{12})=\begin{pmatrix}0&0&0\\3&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=3E_{21}, u(E_{13})=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\2&0&0\end{pmatrix}=2E_{31} etc...

Maintenant si tu réécrits la base canonique avec un seul indice sous la forme e_1=E_{11}, e_2=E_{12},e_3=E_{13},e_4=E_{21},\cdots,e_9=E_{33}   tu auras : u(e_1)=2e_1, u(e_2)=3e_4, u(e_3)=2e_7,  etc     ok ?

Je te laisse alors le soin de finir tous ces petits calculs afin de dresser la matrice de u dans cette base et voir qu'il s'agit bien de application (a,b,c,d,e,f,g,h,i)\mapsto%20(2a,3d,2g,3b,4e,3h,2c,3f,2i).

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 13:04

Vraiment désole, tu dois vraiment me prendre pour un débile mais je trouve pas comme toi:


u(E_{11})=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=2E_{11}  ok
Mais  pour  le  reste  je  trouve:

u(E_{12})=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&3&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=3E_{12}

De  même:
u(E_{13})=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=2E_{13}

J'ai vérifié avec un logiciel de calcul formel pour être sur, donc je ne comprends pas trop trop, vraiment désole...

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 13:29

Oh mille excuses, je n'avais pas vu que M=\begin{pmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{pmatrix}.
Généralement, pour une matrice quelconque on prend la transposée de celle ci c'est pour ça...

Bref, donc tout est bon, la matrice de u dans la base (e1,e2,...,e9) est bien diagonale et son déterminant est bien 5184.

En fait si, comme je le pensais, au lieu de M on avait pris la transposée de M, le résultat aurait été -5184 (tu peux le vérifier pour t'amuser).

Posté par
Crosiusre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 13:36

Ok pas de problèmes, en tout cas merci beaucoup! Et oui je vais regarder ça =).
Encore merci et bonne journée !

Posté par
Narhmre : Determinant d'Endomorphisme de M3(R) 30-08-11 à 13:40

De rien, bonne journée à toi aussi ; )


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