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déterminant de Gram
bonsoir tout le monde
j'ai un dm de maths pour vendredi et j'aimerais avoir quelques précisions
Soit (E,(.I.)) un espace euclidien de dimension p. A tout n-uplet (x1,...,xn) d'éléments de E on associe le nombre:
det(xiIxj) avec i et j entre 1 et n
1) Montrer que G(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=G(x1,...,xj,...,xi,...,xn)
j'ai dit que le PS était symétrique donc G(x1,...,xi,...,xj,...,xn)=det(xjIxi)=G(x1,...,xj,...,xi,...,xn)
2)Mq G(x1+somme de i=2 à n de Lixi,x2,...,xn)=G(x1,...,xn)
je suppose qu'il faut utiliser la linéarité du PS mais je vois pas trop comment
3)Mq G(L*x1,x2,...,xn)=L²G(x1,...,xn) idem
si quelqu'un peut m'aiguiller...
honte à moi
G(x1,...,xn)=det(xiIxj) avec i et j entre 1 et n
j'avais oublié le début
désolé
pourquoi personne ne m'aide ?
bon pour la première j'ai fait matriciellement en changeant des lignes et des colonnes
mais pour la deuxième ?
Bonsoir Atlas
Une petite indication : effectue des opérations sur les lignes en soustrayant à la première ligne la somme des autres lignes. si je ne me trompe pas, tu devrais tomber sur le résultat.
Kaiser
merci kaiser
le problème c'est que j'obtiens pour le premier terme
L2(x2Ix1)+L3(x3Ix1)+...+Ln(xnIx1)
en faisant la somme des autres lignes que je soustraie à la première j'obtiens donc:
L2(x2Ix1)-(x2Ix1)+L3(x3Ix1)-(x3Ix1)+...+Ln(xnIx1)-(xnIx1)
donc j'ai les lambdas qui ne se simplifient pas non ?
où est mon erreur ?
sinon j'ai continué un peu et il y a cette question qui me pose problème:
On suppose maintenant que la famille (x1,...,xn) est libre et on pose H=Vect(x1,...,xn)
Soit p la projection orthogonale sur H
Montrer que pour tout x dans E on a G(x,x1,...,xn)=G(x-p(x),x1,...,xn)
une idée ?
les facteurs ?
ben je croyais que c'était justement L le facteur (lambda) qui varie de 2 à n
il y a d'autres facteurs ?
je crois qu'on s'est pas bien compris, en fait. Dans mon premier message, je t'aidais à répondre à la deuxième question.
Quant à L1, L2, ..Ln, je croyais que tu désignais les lignes 1, 2 ...n.
Autre chose, pourquoi dis-tu que le facteur lambda varie de 2 à n ?
si si on s'était bien compris pour le numéro de la question ^^
sinon pour L1,...,Ln effectivement grosse erreur de notation de ma part puisque L1,...,Ln désigne dans mon exo les lambdas et
2)Mq G(x1+somme de i=2 à n de Lixi,x2,...,xn)=G(x1,...,xn)
je suppose qu'il faut utiliser la linéarité du PS mais je vois pas trop comment
le somme de i=2 à n des Li * xi donc je fais aussi varier le lambda
oh temps pour moi !
j'avais mal lu l'énoncé. Comme quoi il faut toujours faire attention à ce qu'on lit. 
Ne t'inquiète pas, ça marche de la même façon en fait.
On procède de la manière suivante.
Pour i variant entre 2 et n, on soustraie Li fois la ligne i à la première ligne.
On obtient bien le résultat voulu.
kaiser
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