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Déterminant de Matrice

Posté par
matheux14 23-02-22 à 21:50

Bonsoir

Montrer que le déterminant la matrice A = \begin{pmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c\\ 1 & c & a+b \end{pmatrix} sans calculer le déterminant.

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 21:54

Montrer quoi?

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:01

Le déterminant est nul

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:04

Montre qu'il existe un nombre k tel que det(A)=k det(A)

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:07

D'accord mais je ne vois pas comment le faire..

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:08

Tu ne vois pas une opération sur les colonnes qui permettrait une mise en facteur ?

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:14

Multiplier les colonnes par a ?

A = \begin{pmatrix} a & a² & a(b+c) \\ a & ab & a(a+c) \\ a & ac & a(a+b) \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:15

Non. Regarde, dans chaque ligne tu as 1 a, b et c...

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:22

A = a \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{b+c}{a}\\\\\ \dfrac{1}{a} & \dfrac{b}{a} & \dfrac{a+c}{a}\\\\\ \dfrac{1}{a} & \dfrac{c}{a} & \dfrac{a+b}{a} \end{pmatrix}

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:23

matheux14 @ 23-02-2022 à 22:22

A = a \begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & 1 & \dfrac{b+c}{a}\\\\\ \dfrac{1}{a} & \dfrac{b}{a} & \dfrac{a+c}{a}\\\\\ \dfrac{1}{a} & \dfrac{c}{a} & \dfrac{a+b}{a} \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:25

Tu cherches vraiment des trucs compliqués.

Quelle opération ultra simple peux-tu effectuer sur les colonnes?

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:30

A = {\red{1}} * \begin{pmatrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & a+c\\ 1 & c & a+b \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:32

Bon écoute, je te donne le truc. Ajoute à la 1ère colonne la somme des 2 autres.

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:34

Et puis écris det(A)= ... avec la notation adéquate.

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:37

A = \begin{pmatrix} 3 & a+b+c & 2a+2(b+c) \\ 1 & b & a+c\\ 1 & c & a+b \end{pmatrix}

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:41

larrech @ 23-02-2022 à 22:34

Et puis écris det(A)= ... avec la notation adéquate.

J'ai pas compris..

Je dois calculer le déterminant de la nouvelle matrice ?

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 22:43

Mais non. On remplace C1, par C1+C2+C3

det(A)=\begin{vmatrix} 1+a+b+c & a& b+c\\ 1+a+b+c& b&a+c \\ 1+a+b+c& c & a+b \end{vmatrix}=...
et on fait une mise en facteur.

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:00

det(A)=\begin{vmatrix} 1+a+b+c & a& b+c\\ 1+a+b+c& b&a+c \\ 1+a+b+c& c & a+b \end{vmatrix}=(1+a+b+c ) det(A)

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:03

Voilà.

On en déduit que (a+b+c) det(A)=0

Je te laisse conclure (2 cas à traiter).

Posté par
carpediemre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:16

salut

je suivais depuis un petit moment mais maintenant que c'est fini ...

on pouvait se fatiguer à peine moins avec toujours la même idée

en notant u, v et w les colonne de A on a :

det (A) = det (u, v, w) = det (u, v + w, w) = (a + b + c)det (u, u, w)

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:17

a+b+c = -1 ou det A = 0

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:24

Premier cas a+b+c=0 , mais alors il suffit de remplacer C2 par C2+C3 pour voir que det(A)=0

Second cas a+b+c0, alors, det(A)=0

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:27

@carpediem C'était plus rapide en effet.

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 23-02-22 à 23:53

Citation :
Premier cas a+b+c=0 , mais alors il suffit de remplacer C2 par C2+C3 pour voir que det(A)=0

Second cas a+b+c 0, alors, det(A)=0


J'ai pas compris

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 08:16

On part de  (a+b+c) det(A)=0.  (1)

Si a+b+c=0, on ne peut pas conclure. Mais alors :

det(A)=\begin{vmatrix} 1& a& b+c\\ 1& b&a+c \\ 1& c & a+b \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& a+b+c& b+c\\ 1& b+a+c&a+c \\ 1& c+a+b & a+b \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 0& b+c\\ 1& 0&a+c \\ 1& 0 & a+b \end{vmatrix}=0

Si a+b+c0 alors det(A)=0 d'après (1)

La méthode donnée par carpediem évite cette dernière distinction de cas.

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 08:49

matheux14 @ 23-02-2022 à 23:00

det(A)=\begin{vmatrix} 1+a+b+c & a& b+c\\ 1+a+b+c& b&a+c \\ 1+a+b+c& c & a+b \end{vmatrix}={\red{(1+a+b+c )}} det(A)


Comment vous en déduisez
larrech @ 23-02-2022 à 23:03

Voilà.

On en déduit que (a+b+c) det(A)=0

Je te laisse conclure (2 cas à traiter).

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 08:55

En résolvant l'équation du 1er degré en det(A):

det(A)= (1+a+b+c) det(A)

Posté par
matheux14re : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 09:01

Ah d'accord.

Merci beaucoup à vous  

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 10:25

De rien.

Posté par
Foxdevilre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 12:50

Bonjour à tous,

Je me permets d'intervenir pour une petite remarque.

Il me semble que le raccourci de carpediem (que je salue ) peut encore un peu plus être raccourci. Car, pour pouvoir conclure à la nullité du déterminant à partir de l'égalité det (u, v, w) = (a + b + c)det (u, u, w), il faudrait encore traiter le cas où a+b+c=1, ce qui se ferait avec des calculs supplémentaires.

Pour répondre à la question, on peut simplement remarquer que la famille (u;v;w) est liée (je reprends les mêmes notations), car on a la relation (a+b+c)u-v-w=0.
On conclut donc que le déterminant est nul (sans cas particuliers à distinguer).

Posté par
larrechre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 12:54

Citation :
il faudrait encore traiter le cas où a+b+c=1, ce qui se ferait avec des calculs supplémentaires.


Bien sûr que non, -1 peut-être et encore
det(A) = (1+a+b+c) det(A)=0 si a+b+c=-1

Posté par
Foxdevilre : Déterminant de Matrice 24-02-22 à 13:00

Ah effectivement j'ai mal lu. J'avais lu det (u, v, w) = (a + b + c)det (u, v, w)


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