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Determinant et application
Bonjour à tous voila un exercice qui me pose probléme..., pourriez vous m'aider?\\
Voici l'énnoncé:\\
Soit f L(E), avec
et B base de E.\\
Il faut demontrer qu'il existe dans C tel que:\\
D'avance MERCI de votre aide.
Bonjour HenriIV
2 options s'offrent à toi :
1) soit tu ne fait que du calcul (et là, on n'est pas sûr d'y arriver)
2) soit on regarde les deux termes droit dans les yeux et l'on essaie de remarquer quelque chose. On veut montrer qu'une certaine application est colinéaire au déterminant. ça te dit quelque chose.
Kaiser
La solution 2 me semble être la meilleur...
Tout ce que je sais c'est que le determinant est une forme n linéaire alternée, que l'ensemble des formes n linéaires alternées est de dimension 1, et en fait on me demande de demontrer que:
cette somme est égale à ...
Mais même avec ça, je ne voit pas comment résoudre l'exercice...
on me demande de demontrer que: cette somme est égale à
Attention,
Sinon, tu peux dire "appartient à
L'idée est là.
Tu viens de me dire la réponse sans t'en rendre compte car tu sais que toute forme n-linéaire alternée est colinéaire au déterminant dans la base B.
Kaiser
Et bien oui sans doute mais je ne vois toujours pas..., pourriez vous me "detailler" votre raisonnement...
Encore Merci.
Il suffit de démontrer que l'application qui, au n-uplet , associe le membre de gauche est une forme n-linéaire alternée.
Ainsi, on aura ce qu'on veut.
Kaiser
J'arrive bien à demontrer que cette application qui j'appelle est n linéaire alternée en utilisant les propriétées du determinant...Cependant, je suis toujours bloqué ...il y a notamment le f(xi) qui me géne ...
Au fait à que pourrait bien valoir lambda...???
Pourquoi le f(xi) te gêne-t-il ?
Tu as montré que cette application est une forme n-linéaire alternée.
Or tu m'a dit que l'ensemble des forme n-linéaires alternées est un espace vectoriel de dimension 1.
Par ailleurs, l'application est un élément de cet espace vectoriel qui n'est pas l'application nulle, donc cet espace vectoriel est engendré par
.
Ainsi, tout forme n-linéaire alternée est colinéaire à ce qui est exactement la propriété à démontrer.
En ce qui concerne , on peut montrer que c'est la trace de f.
Kaiser
Si sont les vecteurs de la base B, il suffit de considérer l'égalité montrée précédement avec pour tout i,
.
Kaiser
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