Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Déterminants !
Bonjour 
Toujours avec ces calculs fous de déterminants 
Bon, on attaque ... je veux calculer le det de:
... je donnerai d'autres si on termine ça
Pour min(i,j):
i<j au dessus de la diagonale
i>j au dessous de la diagonale.
Peut être factoriser par n à la dernière ligne puis par n à la dernière colonne?
Merci
salut monrow
Pour le min et le max, il y a une astuce : essaie d'écrire ta matrice comme le produit de 2 matrice carrées (qui n'ont que des 0 et des 1).
Kaiser
Bonjour
Commence toujours par enlever la première ligne de toutes les autres... Puis la nouvelle seconde ligne des suivantes...
OK.
Cela dit, j'ai trouvé une méthode qui est presque la tienne et qui marche : pour i compris entre 1 et n-1, on retire la ligne i+1 de la ligne i.
Kaiser
Salut Kaiser et Camélia
Camélia>> Voici ce que je trouve sauf erreur de calcul (fort possible) .... si seulement elle était triangulaire !
Kaiser>> ta méthode aussi m'intéresse
Bon, j'ai compris tu l'as fait sur les colonnes... Ce déterminant n'est pas très difficile à développer par rapport à sa dernière ligne.
ah oui, j'ai pas vu que t'as dit lignes 
mais je pense que la transposée ... donc la même chose !
je développe par rapport à la dernière ligne alors: je trouve
je continue alors à développer par rapport à la dernière ligne je pense ... ?
1) j'arrive pas à trouver un terme général 
2) je pense que c'est la même méthode pour min(i,j) non?
3) pour pgcd(i,j), je n'ai aucune idée ... en fait on demande de trouver que c'est :
la fonction de möbius
* le produit de Dirichlet
Mon courrier doit faire double emploi avec les vôtres!
Dans le déterminant dessiné par Monrow, si l'on retranche la 2eme colonne de la 1ere puis la 3eme de la 2eme,etc..
on tombe sur un déterminant triangulaire?
monrow > ce que dis rogerd reprend exactement ma deuxième idée.
Pour la première, je regarde ça.
Kaiser
Si le terme général est sin(i+j) on développe cela en sin i cos j +cos i sin j.
Chaque colonne est combinaison linéaire de 2 vecteurs colonnes:
le 1er a pour éléments sin 1, sin 2,...sin n.
Le 2eme a pour éléments cos1, cos 2, ... cos n.
Tous dans un même plans, les vecteurs colonnes forment une famille liée dès que n>2, et le déterminant est nul.
Restent les cas n=1 et n=2, faciles.
Salut Rogerd
en effet je trouve alors
avant de traiter le pgcd et le ppcm (que je pense un peu plus durs) j'attaque sin(i+j)
monrow > pour la première méthode pour le max
Considère les matrices A et B définies par :
et
.
Intéresse-toi à la matrice .
(ça c'est pour le min).
Kaiser
sans faire les calculs jusqu'à la fin je pense que j'ai compris son astuces !
pour 1 / (i+j) je pense que c'est la même méthode que celle avec laquelle on calcule le déterminant de cauchy non?
Oki Merci !
Pour le pgcd et le ppcm, je n'ai pas vraiment le courage de s'y mettre maintenant ... surtout que je n'ai plus en tête ces définition et propriétés de Möbius et tout ce qui suit !
Merci à vous 
Rebonjour Monrow!
Chacun attaquant un cas différent, tu ne dois pas savoir où donner de la tête!
Mets mon courrier de côté pour l'examiner plus tard.
Dans le cas 1/(i+j), je retranche la dernière colonne de toutes les autres. Chaque terme devient une différence, que je réduis au même dénominateur.
Je vois apparaître au numérateur de chaque terme un facteur commun à tous les termes de la colonne. Je peux donc le mettre en facteur du déterminant. De même au dénominateur un facteur commun à tous les termes de la ligne.
Après mises en facteurs, il me semble qu'on récupère le déterminant dont on est parti, sauf que sur la dernière colonne on a des 1 partout.
En retranchant alors la dernière ligne de toutes les autres, on doit obtenir une formule de récurrence.
J'ai l'impression que pendant que je cherchais, puis rédigeais, tu as trouvé la solution.
Mille excuses!
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac