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Determinants 4x4 et 3x3
Bonjour,
Je voudrais calculer 2 déterminants 4x4 et 3x3 mais je n'y arrive pas, pouvez me donner des astuces (je sais qu'il faut faire apparaitre le max de 0)
Voici mes 2 déterminants :
a² ab ac avec a²+b²+c²=1
ab b² bc
ac bc c²
-X 1 0 0
2 -X -1 0
0 7 -X 6
0 0 3 -X
bonjour
pour le premier
met a en facteur dans la premiere ligne
met b en facteur dans la 2eme ligne
met c en facteur dans la 3eme ligne
on obtient alors
| a b c |
abc* | a b c | =0 (car on a 3 fois la meme ligne)
| a b c |
pour le second
j ai developper selon la premiere ligne
|-X 1 0 0| |-X -1 0 | |2 -1 0 |
|2 -X -1 0| |7 -x 6 | |0 -x 6 |
|0 7 -X 6|= -X* |0 3 -x |-1* |0 3 -x |
|0 0 3 -X|
=-x*(-x^3+18x-7x)-(-2x²-36)=x^4+11x²+2x²+36=x^4+13x²+36
Merci de ta reponse
Mais je ne comprend pas comment as tu fais le determinant 4x4
Oui je connais mais je voudrais bien que tu detaille 1 peu plus
Merci d'avance
pour passer de :
|-X 1 0 0| |-X -1 0 | |2 -1 0 |
|2 -X -1 0| |7 -x 6 | |0 -x 6 |
|0 7 -X 6|= -X* |0 3 -x |-1* |0 3 -x |
|0 0 3 -X|
j ai fait un developpement par la premiere ligne
ensuite pour calculer les deux determintant j ai utiliser la regle de Sarus
|a b c|
|d e f|=aei+dhc+gbf-ceg-fha-ibd
|g h i|
Ce déterminant fait partie d'un exo dont voici l'enoncé
Matrice 4x4 M :
0 1 0 0
2 0 -1 0
0 2 0 6
0 0 3 0
1) Determiner les valeur propres de M et ses sous-espaces propres
2) Montrer que M est diagonalisable
3) Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage.
Pour la 1) j'ai calculé le polynome caractéristque P(M) = det(M - X*I), j'utilise la reponse que l'on m'a donné mais j'ai des solutions complexes alor je sais pas comment faire
bonsoir,
on a trouve:
det (M-Xid)=X^4-18X²+36
pour trouver les valeurs propres il faut resoudre det (M-Xid)=0
on pose U=X² on a donc U²-18U+36=0
c est a dire U1=9+3*V(5), je note V= racine carree
U2=9-3*V(5)
ensuite il faut resoudre X1²=U1
je pose X1=a+bV5 donc X1²=a²+5b²+2abV5 on trouve a=1/2*V6 ou a=-1/2*V6
b=1/2*V6 b=-1/2*V6
donc X1'=1/2*V6+1/2*V30
X1''=-1/2*V6-1/2*V30
de meme en trouve X2'=1/2*V6-1/2*V30
X2''=-1/2*V6+1/2*V30
donc tu as 4 racines reelles (pas belles je te l accorde....)
b) comme M admet 4 racines distinctes M est diagonalisable
Je me suis trompé ma matrice est :
0 1 0 0
2 0 -1 0
0 7 0 6
0 0 3 0
Je suis désolé
Je trouve mon det = x^4-13x²+36
oui c est vrai je me rappelle maintenant il y avait bien un 7...
on applique la meme methode,on veut resoudre det(M-xid)=0 pour trouver les valeurs propres de M
x^4-13x²+36=0
on pose U=X²
on trouve
U²-13U+36=0
U1=9
U2=4
finalement on a les 4 racines de ce polynome x^4-13x²+36 sont 3,-3 2,-2
tu as 4 racines distinctes,ta matrice est donc diagonalisable
Et comment determine ton les sous espaces propres ?
par definition l espace propre associee a la valeurs propre u est donnee par
E(a)=Ker (M-a*Id)
je rappelle que Ker veut dire noyau
de rien
normalement tu dois trouver:
E(3)= <[1, 3, -7, -7]>,
E(-2)= <[1, -2, -2, 3]>
E(-3)= <[1, -3, -7, 7]>
E(2)= <[1, 2, -2, -3]>
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