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Déterminants

Posté par
sterben 19-06-18 à 20:13

Bonjour,
Soit \beta la base canonique de ^3 et (u_1,u_2,u_3) trois vecteurs de ^3.
On pose v_1=u_1-u_2-u_3 ; v_2=-u_1+u_2-u_3 et v3=-u_1 -u_2+u_3 .
Comparer D =det_\beta(u_1,u_2,u_3) et E=det_\beta(v_1,v_2,v_3)


En faisant v_1 +v_2+v_3 j'ai obtenu (-u_1 -u_2 -u_3).
Du coup jme suis dis que E = -D . Mais c'est absolument pas rigoureux et je ne suis passé par aucuns calcul de determinant.

Merci de bien vouloir m'aider

Posté par
sterbenre : Déterminants 19-06-18 à 21:13

je peux aussi utiliser des propriétés en rapport avec les matrices?

Posté par
SkyMtnre : Déterminants 19-06-18 à 21:38

En ajoutant des colonnes et en permutant à la fin on obtient

\begin{split}\det(v_1,v_2,v_3) &= \det(u_1-u_2-u_3 ,-u_1+u_2-u_3,-u_1 -u_2+u_3)\\&= \det(-2u_3,,-u_1+u_2-u_3,-u_1 -u_2+u_3)\\&= -2\det(u_3,-2u_1,-u_1 -u_2+u_3)\\&=-4\det(u_3,u_1,u_2)\\&= -4\det(u_1,u_2,u_3) \end{split}

Posté par
luzakre : Déterminants 19-06-18 à 21:49

Bonsoir !
Ce que tu fais n'a aucune valeur!

On peut effectivement ne faire aucun calcul de déterminant en utilisant la 3-linéarité.
Si f=\det_{\beta} tu peux écrire :
f(v_1,v_2,v_3)=f(u_1,v_2,v_3)-f(u_2,v_2,v_3)-f(u_3,v_2,v_3) puis

f(u_1,v_2,v_3)=-f(u_1,u_1,v_3)+f(u_1,u_2,v_3)-f(u_1,u_3,v_3)
f(u_2,v_2,v_3)=-f(u_2,u_1,v_3)+f(u_2,u_2,v_3)-f(u_2,u_3,v_3)
f(u_3,v_2,v_3)=-f(u_3,u_1,v_3)+f(u_3,u_2,v_3)-f(u_3,u_3,v_3)

etc...
Beaucoup de ces termes sont nuls et tu auras le résultat.

Je te conseille de vérifier en calculant \begin{vmatrix} 1 & -1 &-1 \\ -1& 1& -1\\ -1& -1& 1 \end{vmatrix}.

Posté par
sterbenre : Déterminants 20-06-18 à 22:14

Merci , j'ai fais la méthode de SkyMtn et j'ai abouti a -4D


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