Bonjour,
Déterminer tous les polynômes de IR[X] vérifiant
P(X)=XP'(X)
Quelle est (si il y a) la technique générale pour résoudre ce genre d'exo ?
Merci
Skops
Salut Skops
Tu peux soit poser P(X)=\Bigsum_{k=0}^na_kX^k et écrire en détail l'équation obtenue puis identifier les coefficients de proche en proche, soit résoudre l'équation différentielle y=xy' et ne garder que les solutions polynômiales.
Mon post est truffé de fautes en plus des a_2 qui se transforment en a2, un X^(n-1) au lieu d'un X^n ... ^^
Lol on devait être aussi fébriles l'un que l'autre à l'idée que l'autre allait peut-être poster plus vite que l'un!!!
D'où mes balises [b ][ /b] et tes petites coquilles!
Skopinou > oui ici on ne peut pas se servir du degré de P, et vu le manque d'info il est bon de développer.
Greg >
Sauf que là, c'est y=xy', pas y'=xy!
ah effectivement ...
Nan mais je me demandais comment tu tombais pile-poil sur alphaX avec des soluces de l'équa diff en exp(x²/2)
Chuck Norris est l'un de mes amis (ou plutôt Chuck Norris fait semblant que Tigweg n'est pas Chuck Norris quand il répond sur l'île en laissant quelques fautes, à dessein!)
Ok
Au fait, j'ai posé la question à mon prof : "Quand on a P(X+1), il faut comprendre quoi ? P*(X+1) ou une composition"
Devine ce qu'il m'a répondu
Skops
bonjour
P(X)=XP'(X) donc P(0)=0 donc si P(X)=anX^n+...+a1X+ao alors ao=0
le terme de plus grande puissance anX^n se derivé en nanX^(n-1)
donc le terme de plus grande puissance de XP'(X) est nanX^n
comme P(X)=XP'5X) donc nanX^n=an donc n=1
donc
P(X)=aX
Pas forcément, mais s'il s'agit d'une multiplication, il vaut mieux passer le facteur (X+1) avant P pour éviter les confusions!
Pareil que Tigweb
Mais dans les exos, fait avec le prof, il arrivait que P(X+1) signifie P*(X+1)
Skops
Eh bien la notation P(X+1) est ambigue, il faut le reconnaître!
Elle désigne en général ce que vous avez écrit, mais il est vrai que cette écriture pourrait tout aussi bien désigner le produit du polynôme P par le polynôme (X+1) non?
Il est clair cependant qu'on notera plutôt (X+1).P ou P(X).(X+1).
Bonjour
J'ai une démonstration rigolote et pas calculatoire de l'exercice initial:
X P'(X) = P(X) peut s'écrire X P'(X) - 1.P(X)= 0
Sur IR*, c'est équivalent à [X P'(X) - 1.P(X)]/ X² = 0, soit [P(X) / X]'= 0
c-a-d P(X) / X = Cste ou P(X) = Cste. X (k1.X et k2.X sur chacun des 2 intervalles)
Il n'y a plus qu'à recoller les deux morceaux par dérivabilité du polynôme, ce qui donne k1 = k2 = k et donc P(X) = k. X
On vérifie que la solution trouvée convient bien.
salut jeanseb
si je poursuis ton raisonnement, tu dis ( P(X)/X )' = 0
or P(X) = X.P'(X) donne P(X)/X = P'(X) et donc la relation devient P"(X) = 0 et P(X) = Cste1.X + Cste2
me trompé-je ? ou est-ce compatible avec ton développement ( si Cste2=0 ) ?
Bonjour
Bien sûr c'est compatible, mais tu perds (dans ta phase analyse) une information (la constante nulle) que tu récupères dans la phase synthèse (la constante non nulle ne convient pas pour l'égalité de départ). Tu ne poursuis donc pas mon raisonnement, mais tu prends un chemin de traverse (un peu plus long...).
Ce que je trouve intéressant dans cette démarche c'est qu'elle est valable pour une fonction dérivable quelconque, pas seulement pour un polynôme.Ca fait aussi penser à la résolution de certaines équations différentielles par une méthode que j'ai vu faire par Nightmare et Elhor.
Bonjour,
jolie ton astuce, mais il me semble qu'on ne gagne pas grand chose par rapport à la résolution "habituelle" de l'équation xy'=y, dans laquelle on serait aussi amené à séparer les cas x > 0 et x < 0, puis à recoller les morceaux.
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