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détermination des groupes d'ordres n
bonjour à tous
J'ai un petit soucis pour la fin d'un exo :
Dans les premières questions on traite les cas n=2,3,4,5,7 cela je les ai traité et dans la dernière questions on étudie le cas n=6 on nous dit
Démontrer que si G (donc le groupe d'ordre 6) est abélien alors il est isomorphe à
Démontrer qui si G n'est pas abélien alors il est isomorphe à S3
Je pense qu'il faut déduire de la commutativité (ou non commutativité) que G possède un élément d'ordre 6 (ou non ) ainsi on en déduirait que G est cyclique pour le cas abélien donc isomorphe à ou que G est engendré par un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3 pour le cas non abélien donc isomorphe à S3, mais j'ai du mal à le montrer.
merci d'avance pour votre aide 
Salut,
on pourrait poser l'énoncé autrement, pour éviter de s'embêter avec des questions de commutativité.
"Si G admet un élément d'ordre 6 il est isomorphe à Z/6Z, sinon il est isomorphe à S3".
au final on aura tout de même répondu à la question.
salut romu
Ben justement c'est ce que j'aimerais montré que lorsque G est abélien alors il possède un élément d'ordre 6 sinon il ne possède que des éléments d'ordres 2 et 3
Tu supposes que G n'est pas cyclique, donc ses éléments sont tous d'ordre .
Il faut montrer que admet un élément
d'ordre 3 (facile) et un élément
d'ordre 2 (moins facile), et ensuite montrer qu'il est isomorphe à
(encore moins facile).
attends je me suis gouré.
Plutôt faire comme ça:
On prend un groupe G d'ordre 6.
1) Montrer qu'il admet un élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 3;
2) si G est abélien, montrer qu'il est cyclique,
3) si G n'est pas abélien montrer que G est isomorphe à en se rappelant que S^3 est caractérisé par les relations "
avec
d'ordre 2, tex]b[/tex] d'ordre 3 et
".
Pour plus de précisions tu peux regarder sur ce topic 
(la réponse d'Homotopie donnée le 25/02/2008 à 16h27 est un plan d'attaque beaucoup plus précis).
Il faut montrer que G admet un élément a d'ordre 3 (facile) et un élément b d'ordre 2 (moins facile) >> Ben 6=2*3 donc d'après Sylow...
Non?
Bonjour
Un bon moyen de contourner Sylow dans les cas "très faciles" c'est de démontrer que si un groupe fini n'a que des éléments d'ordre 2, il a 2n éléments.
La seconde étape est de montrer que pour tout diviseur premier p de l'ordre du groupe il existe un élément d'ordre p; théorème superbe dû à Cauchy qui utilise l'équation des classes dans un cas beaucoup plus facile que la démonstration de Sylow.
C'est de l'artillerie lourde ça, autant utiliser directement Sylow non?
Non, c'est du très commode... Bien qu'en cherchant bien on doit pouvoir le trouver sur le site, je te fais un nouveau topic.
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