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Déterminer l'équation de la tangente à un cercle
Bonjour,
Je travaille sur les équations de cercle et dans une question je dois déterminer les deux droites passant par B(0;9) et tangentes au cercle C2. Ce cercle a pour équation :
(x+1)2+(y-2)2=17
Je connais déjà une tangente d'équation y=2x+9, mais il me manque l'autre.
Je pensais résoudre le système suivant:
(x+1)2+(y-2)2=17
y=mx+9
mais je ne vois pas comment résoudre un système à trois inconnues et avec du second degré.
Pourriez-vous m'indiquer la méthode ? Merci d'avance !
Bonjour,
On a un cercle d'équation (x+1)² + (y-2)² = 17
et une droite d'équation y = mx+9 où m est un paramètre.
Les points d'intersection de la droite et du cercle sont les points dont les coordonnées vérifient à la fois l'équation du cercle et celle de la droite.
On remplace y par mx + 9 dans l'équation du cercle. On obtient l'équation du second degré suivante :
(x+1)² + (mx+9-2)² = 17
(x+1)² + (mx+7)² = 17
x² + 2x + 1 + m²x² + 14mx + 49 - 17 = 0
(m²+1)x² + (14m+2)x + 33 = 0
x étant l'inconnue et m un paramètre.
On calcule le discriminant :
= (14m + 2)² - 4 * 33 * (m² + 1)
Trois cas peuvent se présenter :
1) < 0 et la droite ne coupe pas le cercle ;
2) > 0 et la droite coupe le cercle en deux points ;
3) = 0 et la droite est tangente au cercle.
Il faut donc déterminer les valeurs du paramètre m pour lesquelles = 0.
Il faut donc résoudre l'équation :
(14m + 2)² - 4 * 33 * (m² + 1) = 0
Une autre équation du second degré. Il faudra calculer le discriminant du discriminant...
Et on trouvera deux valeurs de m, qui sont les coefficients directeurs des deux tangentes au cercle passant par le point B(0 ; 9)
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