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Déterminer la divisibilité

Posté par
gaby775 05-10-05 à 17:50

Bonjour,

Je doit démontrer que le nombre

A = 2³ⁿ⁺¹ + 2⁶ⁿ⁺²+ 2⁹ⁿ⁺³ est divisible par 7.

J'ai démontré que

2³
8 (7)

81 (7)
donc
2³ⁿ⁺²1 (7)
j'ai démontré de même que
2⁶ⁿ⁺²1 (7)et 2⁹ⁿ⁺³1 (7)

or le nombre A 3 (7)
or je ne trouve pas de nombre de multiple de 7 congru à 3.
si quelqu'un aurait une idée.
merci

Posté par re : Déterminer la divisibilité 05-10-05 à 17:55

Bonjour

Attention !
$3$\rm 2^{3}\equiv 1[7]$
donc
$3$\rm 2^{3n}\equiv 1[7]$
d'où :
$3$\rm 2^{3n}\times 2\equiv 2[7]$
ie
$3$\rm 2^{3n+1}\equiv 2[7]$

de même :
$3$\rm 2^{6n}\equiv (2^{3})^{2n}\equiv 1^{2n}\equiv 1[7]$
donc
$3$\rm 2^{6n+2}\equiv 4[7]$

Par analogie :
$3$\rm 2^{9n}\equiv 1[7]$
et
$3$\rm 2^{9n+3}\equiv 8\equiv 1[7]$

finalement :
$3$\rm 2^{3n+2}+2^{6n+2}+2^{9n+3}\equiv 2+4+1=7\equiv0[7]$

Posté par re : Déterminer la divisibilité 05-10-05 à 17:58

ha merci ...... c'été la ptite erreur qui faussait tou .

@ bientôt !

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