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Déterminer le centre d'une similitude directe

Posté par
kkm9139
13-03-11 à 20:28

Bonsoir,
Notre classe de spé vient de commencer les similitudes et j'ai quelques problèmes sur une question,
voici l'énoncé:

Sur la figure di-contre, les droites (AB) et (A'B') sont perpendiculaires et se coupent en O; de plus AB=3 et A'B'=OA=OA'=1.

                  B'
                    x
                    |
                    |
                    |
                    x A'
                    :
                    :
                    :
  x-------------x------------------------x
  A                O                             B

1.Justifier l'existence d'une unique similitude directe s tranformant A en A' et B en B'
  Pour cette question j'ai juste dit que les points A et A' sont distincts et que B et B' le sont aussi et j'en ai conclu que s(A)=A' et s(B)=B'

2.a)Déterminer le rapport de l'angle de s
    Pour ça j'ai dit que k =(s(A)s(B))/AB
                           =A'B'/AB
                           =1/3

    soit /teta = ( vecteur(AB) ; vecteur(A'B') )
               = pi/2

  b)Soit /omega le centre de s. Construire /omega
    C'est Ici que j'ai commencé à ne pas comprendre... je partais de l'hypothèse que O était Omega mais pense que non...

3.On se place dans le repère orthonormal direct(O;vecteur(u),vecteur(v)) où A' a pour affixe i
  a.Déterminer l'écriture complexe de s
  b.En déduire l'affixe du centre Omega

Posté par
dhalte
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 20:41

Omega est l'unique point invariant.
A toi de le trouver.

Posté par
Labo
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 20:46

Bonsoir
angle π/2
==> le centre de la similitude est sur le cercle de diamètre [AA'] et su rle cercle de diamètre [BB']
==> l'intersection des axes convient

Posté par
Labo
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 20:47

Bonsoir dhalte

Posté par
dhalte
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 20:56

Bonsoir Labo

je parlerai même de demis cercles pour lever l'indétermination de la double intersection

illustration

Déterminer le centre d\'une similitude directe

Posté par
Labo
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 21:00

  oui , j'ai écrit  une grossière erreur  ( une de plus...)

Posté par
kkm9139
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 22:01

Merci beaucoup =)
pour la 3.a), j'ai dit que l'écriture complexe s'écrivait: z'= (1/3)ei(pi)/2(z-w)+w
et que w=b/(1-a)
mais je sais pas comment trouver w vu que je n'ai pas a et b.
Merci d'avance

Posté par
dhalte
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 22:10

je ne sais pas si w=b/(1-a), peut-être. Je ne sais même pas ce que tu désignes par a et b et je n'en ai pas besoin. Mais ce que je sais est que tu as à ta disposition deux points et leur image.

Posté par
kkm9139
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 22:45

donc, par les affixes des points A ,B ,A' et B'
je trouve a=(1/3)i
donc k = |a|=|(1/3)i|=1/3
comme za'=za+b
b=za'-za
=i+1
donc z'=(1/3)iz+i+1

Posté par
dhalte
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 22:52

test
z = -1 (c'est l'affixe du point A)
z' = -1/3i + i + 1 = 1 + 2/3i
or on aurait dû trouver i qui est l'affixe de A', image de A par cette similitude directe.

Same player shoot again
(but with no fault, please)

Posté par
kkm9139
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 22:52

oups désolé,
zA'=azA+b
donc b=zA'-azA
      =i+(1/3)i
      =(4/3)i

Posté par
dhalte
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 13-03-11 à 23:40

Je n'arrive pas à comprendre ton raisonnement, aussi je vais te donner le mien, qui est plus basé sur des notions fondamentales et des propriétés essentielles

on sait qu'une similitude directe est une rotation suivie d'une homothétie, les deux pouvant être de même centre, le seul point fixe de la transformation.

une rotation de centre l'origine O du repère, suivie d'une homothétie de même centre se traduit en complexe par une relation de la forme

z'=re^{i\alpha}z
\alpha est une mesure de l'angle de la rotation
et r0 est le rapport de l'homothétie.

si le centre n'est pas O, mais un point d'affixe \omega, cela revient à effectuer une translation du plan, et la formule devient

z'-\omega = re^{i\alpha}(z-\omega)

Ici, on sait que
r=\frac13
 \\ \alpha=\frac{\pi}2
 \\ e^{i\alpha}=i

donc on cherche la transformation qui s'écrit
z'-\omega = \frac13i(z-\omega)

il reste à déterminer \omega

On sait que le point A d'affixe -1 a pour image le point A' d'affixe i, donc la relation doit être vérifiée entre A et A' (on aurait pu prendre B et B', on se les garde pour une vérification ultérieure)

i-\omega = \frac13i(-1-\omega)

il reste à résoudre cette équation pour trouver \omega

et on trouve
\omega=-\frac25+\frac65i
ce qui nous rassure car le schéma bien fait nous incite à penser que cette valeur est la bonne.

Donc l'application s'écrit
z'=\frac13iz+\omega(1-\frac13i)

qu'on développe sans faire d'erreurs de calcul, pour trouver finalement
z'=\frac13iz+\frac43i

dernière vérification, B a pour affixe 2 et son image B' a pour affixe 2i

est-ce que la relation va le confirmer ?

2i=\frac13i\times 2+\frac43i exact !

Posté par
kkm9139
re : Déterminer le centre d'une similitude directe 15-03-11 à 18:39

ah ben j'ai trouvé la même chose =) (ça tombe bien)
merci



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