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Déterminer un ensemble de nombres
Bonjour,
J'essaye de faire l'exercice suivant, mais je bloque sur les dernières questions...
Merci d'avance pour votre aide ! 
Dans tout l'exercice, x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
S est l'ensemble des couples (x;y) tels que : PGCD(x;y)=y-x.
1. a) Calculer PGCD(363;484).
b) Le couple (363;484) appartient-il à S ?
2. Soit n un entier naturel non nul : le couple (n;n+1) appartient-il S ? Justifier votre réponse.
3. a) Montrer que (x;y) appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel k non nul tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x).
b) En déduire que pour tout couple (x;y) de S on a : PPCM(x;y)=k(k+1)(y-x).
4. a) Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b) En déduire l'ensemble des couples (x;y) de S tels que PPCM(x;y)=228.
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1. a) En utilisant l'algorithme d'Euclide, PGCD(363;484)=121.
b) 484-363=121 et PGCD(363;484)=121, donc (363;484) appartient à S.
2. a) n x (-1) + (n+1) x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout n et n+1 sont premiers entre eux ; d'où PGCD(n;n+1)=1. De plus, (n+1)-n=1, donc (n;n+1) appartient à S.
3. a) (x;y) appartient à S si, et seulement si y-x divise x ET y. D'où x=k(y-x) et y=k(y-x). Je trouve le bon résultat pour x mais pas pour y...
Bonjour, tout d'abord pour la question 3) tu as une équivalence (si et seulement si) donc tu dois montrer l'implication dans les deux sens.
Si (x;y) appartient à S alors il existe k...
Si il existe k tel que ... alors x;y) appartient à S.
Je pense qu'il vaut mieux faire les deux étapes séparemment.
Ton erreur est que ce n'est pas le même k lorsque tu dis : "D'où x=k(y-x) et y=k(y-x)"
Il faut dire il existe k tel que x=k(y-x) et k' tel que y=k'(y-x).
Oui je me disais aussi qu'il fallait utiliser k et k' mais du coup je ne vois pas comment retomber sur une expression de y avec k...
Merci !
Je n'arrive pas à faire la question 3b, je pense utiliser la formule PGCD(x;y) x PPCM (x;y) = xy, mais ça n'a pas l'air de marcher...
bonjour
3a) x=k(y-x)
de y=x+y-x tu en tires
y=k(y-x)+(y-x)
=(k+1)(y-x)
PPCM(x,y)*PGCD(x,y)=xy donc PPCM(x,y)*(y-x)=k(y-x)*(k+1)(y-x)
en simplifiant pa y-x tu obtient PPCM(x,y)=k(k+1)(y-x)
4a)
228=2²*3*19
D(228)={1,2,2²,3, 6,12,38,142,57,114,228}
b) ppcm(x,y)=228
k(k+1)(y-x)=228
donc k(k+1) divise 228
les solutions possible pour k sont k=1 et k=2
k=1 donc y-x=114 et x=y-x donc x=114 et y=228
k=2 donc y-x=38 et x=38 donc y=76
Je pense que si :
PGCD(x;y) x PPCM (x;y) = xy
(y-x).PPCM = k(y-x).(k+1)(y-x) on simplifie par y-x
PPCM = k(k+1)(y-x)
watik c'est merveilleux tu viens de nous montrer que tu es très bon en maths mais déballer la solution toute faite n'aidera pas notre ami noowar à progresser !
Les diviseurs de 228 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12, 19, 38, 57, 76, 114 et 128 (si je n'en oubli pas !)
Or puisque k(k+1)(y-x)=228 on peut affirmer que si k est un diviseur de 228 alors k+1 l'est aussi.
Il faut donc rechercher les entiers k dans la liste des diviseurs de 228 tels que k+1 est aussi dans la liste (il y en a 3 je crois)
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