Le problème est que quand je fais le produit avec la matrice, je n'arrive pas a déterminer x1,x2, etc,

Peux-tu faire l'effort d'être clair si tu souhaites que l'on t'aide ? Le produit de quoi avec quel matrice ? Que sont x1, x2 ? Mets-toi à la place d'un lecteur quand tu écris.

ok désolé.

Donc j'ai Ker(f-Id)={ X de Rⁿ / (f-Id)(X)=0 }

Et X=(x₁,x₂,x₃,...x_n)

Je fais le produit AX=0.

J'obtiens un système :



.
.
.


Et après je ne sais plus quoi faire

Regarde pour n=2 et n=3, ça peut donner des idées

En fait c'est bon j'ai trouver,

en notant (1) , (2), etc les lignes du sytèmes, j'ai fait :
(1)-(2) , (2)-(3), .... et finalement je trouver x₁=x₂=...=x_n.
Donc Ker(f-Id)=Vect{(1,1,...,1)}

C'est bien ca ?

maintenant, je bloque plus loin : Etablir que Ker(f-Id) et Im(f-Id) sont des sous-espaces vectoriels.

Supposons que ce soit vrai,
Soit X de Rⁿ, alors X=Y+Z avec Y de Ker(f-id) et Z de Im(f-id)

Et X=(x1,x2,...,xn) Y=(y1,....yn) et Z=(z1,...,zn)

Donc (f-Id)(X)=(f-Id)(Z) car Y appartient a Ker(f-ID)

Or 0€Ker(f-Id) donc (f-Id)(0)=0=f(Z)-z car f est un endomorphisme et Id aussi.

Donc on cherche Z tel que f(Z)=Z.
Je fait AZ=Z et finalement je trouve z1=z2=...=zn.

Et a partir de là je ne sais plus quoi faire.
Merci de votre aide

ker et im sont toujours des sous-ev

... tu es sûr que c ça la question ?

Exactement c'est :
1.a Déterminer une base du noyau de f-Id
1.b Montrer que (e1-e2,e2-e3,....,e1-en) est une famille libre d'élément de Im(f-Id), puis établir que c'en est une base ( (e1,e2,..,en) est la base canonique ). Cette question j'ai reussi.
1.c Etablir que Ker(f-Id) et Im(f-Id) sont des sous-espaces vectoriels suppémentaires dans Rⁿ

SUPPLEMENTAIRES, c'est ça qui est important... tu n'as pas à montrer que ce sont des sous-ev

ah, désolé, j'ai oublié de le taper, une erreur bete.
Maintenant mon raisonnement doit etre plus clair

En fait, si j'arrive a trouver la valeur de z1=z2=..=zn, je montre que Z est unique, puis j'en deduis Y unique a partir de X=Y+Z.
Ensuite j'aurais juste a verifer que Y et Z appartient respectivement a Ker(f-Id) et Im(f-Id)

Salut !

je suis pas convaincu que la recurence soit la meilleur solution personellement...

je te propose une autre demarche, en utilisant des projecteurs :

on pose J=[1] (la matrice d'ordre n qui ne contien que des 1)

on a donc :
F=(J-I)/(n-1)

et donc F-I =J/(n-1)-n*I/(n-1)

or on peut verifier facilement que J/n est la matrice d'un projecteur p (en utilisant P=P² et le produit ligne colone), et on peut determiner facilement l'image de p : il suffit de regarder l'image de la base canonique, et on trouve toujour [1,1...,1]/n, donc Im p = Vect([1,1...,1])

on reecrit F-I en prenant en compte, ceci on apelle P la matrice  du projecteur p (P=J/n)

on a F-I=(P-I)*n/(n-1)=-(I-P)*n/(n-1)

or I-P est la matrice du projecteur conjugué de P, puisque I-P+P = I.

donc Ker(f-Id) = Ker(Id-p)=Im p
et Im(f-Id) = ker p

tu connais Im p facilement (vect [1,1...,1]) donc tu retrouve le resultat de la premier question, et tu sais que Im p et Ker p sont suplaimentaire puisque p est un projecteur.

Ce n'est pas du tout une récurrence que j'ai fait.
Je suppose que Ker et Im sont supplémentaires, et j'essaie de démontrer l'unicité de Y et Z (c'est comme ca que j'ai appris en tout cas)

hum désolé, j'avais pas lu la question 1.b


bon ma demarche est pas vraiment aproprié vu comment sont posé les question alors...