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Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite

Posté par
lustig77
02-01-17 à 15:53

Bonjour (et bonne année !)

Un petit exo me donne du fil à retordre... Le voici :
Déterminer laquelle des quatre droites suivantes est tangente à la courbe de la fonction f telle que f(x) = x3 - x +1 :
y = x + 4
y = 8x -17
y = -2x + 13
y = 4x - 5

J'imagine qu'il faut faire x3 - x +1 - une des équations = 0, et trouver une seule solution (ce qui montrerait que la courbe a un point commun avec la droite).
Mais je suis bloqué...  Est-ce que je suis le bon raisonnement ?

Posté par
lustig77
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 15:55

Oh, j'ai oublié les bonnes manières : pourriez vous me donner une piste s'il vous plaît ?  

Posté par
Priam
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 15:55

Oui, mais pour une tangente, il faudrait une solution double.

Posté par
lustig77
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 15:59

C'est à dire "une solution double" ?  2 valeurs de x ?  

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 16:06

Bonjour

D'abord: dériver la fonction f

Posté par
Priam
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 16:11

Par exemple, un polynôme P(x) du 3ème degré a une racine double  a  si on peut écrire
P(x) = m(x - a)²(x - b) .
L'ennui dans le cas présent, c'est que je ne trouve aucune tangente parmi les droites proposées . . . .

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 16:19

Priam, je pense que tu te trompes .

1) Calcule la dérivée de f:  f'(x) =....

2) ensuite regarde pour quelle valeur de x cette dérivée est égale au coefficient directeur de chacune des droites proposées.

Cela doit te donner des valeurs de x

3) Vérifie pour laquelle de ces valeurs la fonction f et la droite tangente donnent le même nombre.

Si tu veux une idée de la réponse, programme la fonction f sur ta calculatrice (ou geogebra) , et fais pareil pour les droites proposées: tu verras bien laquelle est tangente à la courbe, et en quel point.

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 16:25

As tu bien recopié l'énoncé? Sur geogebra, aucune des 4 droites n'est tangente à la courbe  de f.

Posté par
lustig77
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 18:58

jeanseb Oui oui, j'ai recopié mot pout mot :/
il y a un truc qui coince dans cet exo...

Mais merci quand même pour vos conseils à vous deux !

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 19:15

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 19:50

f'(x) = 3x² - 1

f(a) = a³-a+1
f'(a) = 3a² - 1

T(a) : y = (x-a)*f'(a) + f(a)

y = (x-a)*(3a² - 1) + a³-a+1

y = (3a²-1).x - 3a³+a-a³-a+1

y = (3a²-1).x - 2a³ + 1 (Equation de la tangente au point d'abscisse a)

a)
avec y = x+4
Elle sera tangente à la courbe représentant f(x) si le système suivant a des solutions :

3a²-1 = 1
-2a³ + 1 = 4

a² = 2/3
a = +/- V(2/3)
celle valeur de a ne vérifie pas -2a³ + 1 = 4 ---> la droite d'équation y = x+4 n'est pas tangente à la courbe représentant f(x)

On fait pareil pour les 3 autres équations de tangentes possibles ...

Et on constate qu'aucune ne convient.

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 02-01-17 à 20:35

Je proposais un peu plus simple, mais de toute manière je ne sais pas si lustig s'est attaqué au problème, par exemple s'il a calculé la dérivée de f...

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 03-01-17 à 07:58

Salut jeanseb,

Ce que tu proposes n'est ni plus simple ni moins simple que ce que je propose.

Ton "ensuite regarde pour quelle valeur de x cette dérivée est égale au coefficient directeur"
correspond (pour la 1ere équation proposée) à mon "trouver la ou les valeurs de a pour que 3a²-1 = 1"

et ton "Vérifie pour laquelle de ces valeurs la fonction f et la droite tangente donnent le même nombre.'
correspond "presque" à mon vérifier si la ou les valeurs de a trouvées précédemment vérifie(nt) -2a³ + 1 = 4 (bien que ce calcul est un peu plus simple que celui qui émane de de  que tu proposes)

Posté par
jeanseb
re : Déterminer une tangente parmi plusieurs équations de droite 03-01-17 à 10:40

Pas de problème!
Meilleurs vœux pour l'année 2017
A une prochaine!



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