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Deux plans pas ordinaires.
Bonjour à tous
Voici mon problème:
Soit P le plan d'équation ax+by+cz+d=0
Soit P' le plan d'équation a'x+b'y+c'z+d'=0
On suppose P et P' non parallèles.
Soit T l'ensemble des points de l'espace qui sont équidistants de P et P'.
Montrer que T est la réunion de deux plans et dont les vecteurs normaux sont orthogonaux.
J'ai trouvé:
abs(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) = abs(a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²)
Cependant, avec ce là, je ne trouve pas comment répondre à la question.
Et d'ailleurs, j'ai une petite question, que doit on trouver si P et P' sont parrallèles( quelque chose de bizard j'imagine puisque l'énoncé nous dit d'emblé que P et P' ne sont pas parallèles)
Merci d'avance de votre aide et bonnes fêtes de fin d'année.
A tout de suite.
Merci de votre réponse mais vous êtes sur que ca va marcher ?
Que va t-on obtenir au final ??? (une équation de droite mais ne doit on pas d'abord obtenir 2 équations de 2 plans)
J'attends votre réponse et merci encore de votre attention aussi rapide.
En élevant au carré les valeurs absolues disparaissent.
Tu as une égalité du type : a.|P| = a'.|P'|
Donc : a².P² = a'².P'²
Alors : (a.P)² - (a'.P')² = 0
(a.P + a'.P').(a.P - a'.P') = 0
Par le théorème du produit nul, cela donne bien deux plans. On les appelle les plans médiateurs.
En développant les calculs, tu peux prouver qu'ils sont orthogonaux.
merci mais vous êtes sur que (E.P + E'.P') et (E.P - E'.P') désignent 2 équations de plan (la longueur des équation me donne un doute.)
Cependant, celà me semble cohérent.
Merci pour tout
j'ai une seconde question à vous poser:
En effet, on a t(n)=sum(1/(n²+k),k=1..2n) et t(n)=a/n+b/n²+°(1/n²)
J'ai trouvé que ce résultat est vrai pour a réel quelconque et b=((2-a)n²-2n-1)/n.
Cependant, l'égalité t(n+1)=a/n+c/n²+°(1/n²) avec a réel quelconque et c=b-a n'est pas vérifiée.
Comment expliquer celà ??
Comment obtenir la valeur de c et en déduire un équivalent de t(n+1)-t(n) ???
j'ai également trouvé les équivalences suivantes:
1/(n+1) = 1/n-1/n²+°(1/n²)
1/(n+1)²= 1/n²+°(1/n²)
Merci d'avance pour vos réponses
comment faire lorsque les deux plans sont parallèles ???
Que dire ?
a est proportionnelle à a' ainsi que b et c avec b' et c' mais d<>d'.
J'attends votre aide et merci pour tout déjà.
d'pour d=d' c'est évident (ce sont les même plan) et pour d<>d' on trouve une équation de droite ou deux plans perpendiculaires ?
Ce pendant, pour P parallèle à P', je note a=a' ou je dit a est proportionnelle à a' ainsi que b et c avec b' et c' (dans ce deuxième cas, je ne vais tout de même pas utiliser des coefficient du genre a=k*a', b=t*b' ...)
j'ai effectué les calculs et les équations obtenues sont vraiment longues ce qui me laisse un doute.
J'attends votre réponse
j'ai vérifié les 2 équations obtenues en prenant des réels quelconques et je m'apperçois que celà ne marche pas.
Pourriez vous nous faire part de votre résultat ?
Voici les équations de mes 2 plans:
(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) - (a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²) = 0
(ax+by+cz+d)/sqrt(a²+b²+c²) + (a'x+b'y+c'z+d')/sqrt(a'²+b'²+c'²) = 0
Malheureusement, en vérifiant avec les plans d'équations x+y+z+1=0 et 2x+y+z+1=0, celà ne marche pas ???
On peut poser :
Remarquons que u² + v² + w² = 1
On se retrouve avec :
(ux + vy + wz + h + u'x + v'y + w'z + h')(ux + vy + wz + h - u'x - v'y - w'z - h') = 0
Donc, deux plans :
(P) : (u + u')x + (v + v')y + (w + w')z + h + h' = 0
(P') : (u - u')x + (v - v')y + (w - w')z + h - h' = 0
Enfin :
(u + u')(u - u') + (v + v')(v - v') + (w + w')(w - w') = u² + v² + w² - (u'² + v'² + w'²) = 1 - 1 = 0
Ces deux plans sont donc perpendiculaires
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