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deux sous groupes K et H

Posté par
dystopy 18-11-07 à 19:18

bonsoir à nouveau
j'ai un ptit exo que je n'ai pas trouvé d'ou le debuter

Soit (G,.) un groupe
Soient H et K deux sous groupes de G on Note HK={hk / h\inH et k\in }  Montrez que si HK=KH alors HK est un sous-groupe de G . Que déduit-on quand G est abélien

Posté par
critoure : deux sous groupes K et H 18-11-07 à 19:50

Bonjour,

Pour montrer que c'est un sous-groupe de G, tu dois montrer que
- e (le neutre de G) est dans HK
- Si x et y sont des éléments de HK, xy est dans HK
- Si x est dans HK, x-1 est dans HK aussi

Qu'est-ce que tu n'arrives pas à vérifier là-dedans ?

Posté par
fusionfroidere : deux sous groupes K et H 18-11-07 à 20:01

Salut

Soient 4$x,y \in HK

Alors 4$\exist h,h' \in H, 4$\exist k,k' \in K tels que 4$x=hk et 4$y=h'k'

On a : 4$xy^{-1}=hkk'^{-1}h'^{-1}

On a donc  4$kk'^{-1}h'^{-1} \in KH=HK

Donc 4$\exist h'' \in H et 4$k'' \in K tels que : 4$kk'^{-1}h'^{-1}=h''k''

Donc 4$xy^{-1}=hh''k'' \in HK

Posté par
dystopyre : deux sous groupes K et H 18-11-07 à 22:44

wi 10/10 merci bcp

Posté par
fusionfroidere : deux sous groupes K et H 18-11-07 à 22:49

Pour ma part, de rien ;=)


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